Question

11．等邊△ABC的邊長為2，P是平面內任意一點，△PAB、△PBC、△PAC均為等腰三角形．
（1）請用尺規(guī)作圖的方法作出所有滿足條件的點P（不寫做法，保留作圖痕跡，用P₁，P₂，P₃…表示）；
（2）直接寫出∠PAB的度數；
（3）在滿足條件的所有點P中任取2點，則這兩點距離的最小值是2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，最大值是2+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據等腰三角形定義分別以A、B、C為圓心，AB為半徑畫弧即可得到所求的點P．
（2）根據等邊三角形的性質以及內角和定理即可得出∠PAB．
（3）利用圖象觀察即可得出最小值P₁P₂以及最大值P₅P₁₀，根據特殊角時間函數即可求出．

解答 解：（1）如圖所示滿足條件的點P有10個．
（2）∠PAB=15°或30°或60°或75°或120°或150°．
（3）在RT△P₁BH中，∵BH=1，∠HBP₁=30°，
∴BP₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴最小值P₁P₂=BP₂-BP₁=AB-BP₁=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴最大值P₅P₁₀=P₅H+HC+CP₁₀=2HC+AC=2+2$\sqrt{3}$，
故答案為：，2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；2+2$\sqrt{3}$．

點評 此題考查圖形與作圖問題，熟練掌握等邊三角形的性質及等腰三角形的判定是解題關鍵，記住一些常用結論等邊三角形的高=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a（a是邊長）．