Question

4．已知，如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是$\widehat{AB}$上一點(diǎn)，現(xiàn)將半圓沿BC折疊，$\widehat{BC}$恰好過圓心O，點(diǎn)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AD與⊙O相切．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）若半圓的直徑為6，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)O作OF⊥BC于E，交半圓O于F點(diǎn)，連接CF，根據(jù)垂徑定理得到BE=CE，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EF=EO，得到OE=$\frac{1}{2}$OB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）連接AC，由AD與⊙O相切，得到∠DAB=90°，根據(jù)AB是半圓O的直徑，得到∠ACD=∠ACB=90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）過點(diǎn)O作OF⊥BC于E，交半圓O于F點(diǎn)，連接CF，如圖，
∵OF⊥BC，
∴BE=CE，
∵半圓O沿BC所在的直線折疊，圓弧BC恰好過圓心O，
∴EF=EO，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠OBC=30°，
即∠ABC=30°；

（2）連接AC，
∵AD與⊙O相切，
∴∠DAB=90°，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACD=∠ACB=90°，
∵AB=6，
∴AC=3，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．