【題目】(1)(操作發(fā)現(xiàn)):如圖一,在矩形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),將△ABE沿AE折疊后得到△AFE,點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部,延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G.猜想線段GF與GC的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)(類比探究):如圖二,將(1)中的矩形ABCD改為平行四邊形,其它條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說明理由.
(3)(應(yīng)用):如圖三,將(1)中的矩形ABCD改為正方形,邊長(zhǎng)AB=4,其它條件不變,求線段GC的長(zhǎng).
【答案】(1)點(diǎn)E在BC的中點(diǎn)時(shí),GF=GC,理由見解析;(2)成立,理由見解析;(3)CG=1
【解析】
(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)得出BE=EF,∠B=∠EFA,利用三角形全等的判定得△ECG≌△EFG,即可得出答案;
(2)利用平行四邊形的性質(zhì),首先得出∠C=180°-∠D,∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D,進(jìn)而得出∠ECG=∠EFG,再利用EF=EC,得出∠EFC=∠ECF,即可得出答案.
(3)設(shè)GF=GC=x,則 AG=4+x,DG=4-x,在Rt△ADG中利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,解之可得.
(1)點(diǎn)E在BC的中點(diǎn)時(shí),GF=GC,
證明:如圖一,連接EG,
∵E是BC的中點(diǎn),
∴BE=CE,
∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE,
∴BE=EF,
∴EF=EC,
∵EG=EG,∠C=∠EFG=90°,
∴△ECG≌△EFG(HL),
∴FG=CG,
故答案為:FG=CG;
(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.
證明:如圖二,連接FC,
∵E是BC的中點(diǎn),
∴BE=CE,
∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE,
∴BE=EF,∠B=∠AFE,
∴EF=EC,
∴∠EFC=∠ECF,
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴∠B=∠D,
∵∠ECD=180°﹣∠D,∠EFG=180°﹣∠AFE=180°﹣∠B=180°﹣∠D,
∴∠ECD=∠EFG,
∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF,
∴∠GFC=∠GCF,
∴FG=CG;
即(1)中的結(jié)論仍然成立;
(3)設(shè)GF=GC=x,則 AG=4+x,DG=4﹣x,
在Rt△ADG中,(4+x)2=(4﹣x)2+42,
解得:x=1,
即CG=1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)網(wǎng)站為吸引更多人注冊(cè)加入,舉行了一個(gè)為期5天的推廣活動(dòng).在活動(dòng)期間,加入該網(wǎng)站的人數(shù)變化情況如下表所示:
(1)表格中 , ;
(2)請(qǐng)把下面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)根據(jù)以上信息,下列說法正確的是 (只要填寫正確說法前的序號(hào)).
①在活動(dòng)之前,該網(wǎng)站已有3 200人加入;
②在活動(dòng)期間,每天新加入人數(shù)逐天遞增;
③在活動(dòng)期間,該網(wǎng)站新加入的總?cè)藬?shù)為2 528人.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A1B1C1;并寫出點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo).
(2)請(qǐng)畫出△ABC繞O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C2,并寫出點(diǎn)A2,B2,C2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀理解:數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對(duì)象,我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,樹形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問題,小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間的距離時(shí)發(fā)現(xiàn),對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),可通過構(gòu)造直角三角形利用圖1得到結(jié)論:P1P2=,他還利用圖2證明了線段P1P2的中點(diǎn)P(x,y),P的坐標(biāo)公式:x=,y=.
啟發(fā)應(yīng)用:
如圖3:在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(8,0),B(0,6),C(1,7),⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O及點(diǎn)A,B,
(1)求⊙M的半徑及圓心M的坐標(biāo);
(2)判斷點(diǎn)C與⊙M的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)若∠BOA的平分線交AB于點(diǎn)N,交⊙M于點(diǎn)E,分別求出OE的表達(dá)式y1,過點(diǎn)M的反比例函數(shù)的表達(dá)式y2,并根據(jù)圖象,當(dāng)y2>y1>0時(shí),請(qǐng)直接寫出x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點(diǎn)A(﹣3,0),對(duì)稱軸為直線x=﹣1,給出以下結(jié)論:①abc<0 ②b2﹣4ac>0 ③4b+c<0 ④若B(﹣,y1)、C(﹣,y2)為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),則y1>y2⑤當(dāng)﹣3≤x≤1時(shí),y≥0,
其中正確的結(jié)論是(填寫代表正確結(jié)論的序號(hào))__________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4厘米,E為AD邊的中點(diǎn),F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿B→C→D→E,向終點(diǎn)E以每秒a厘米的速度運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,△PBF的面積記為S. S與t的部分函數(shù)圖象如圖2所示,已知點(diǎn)M(1,)、N(5,6)在S與t的函數(shù)圖象上.
(1)求線段BF的長(zhǎng)及a的值;
(2)寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式,并補(bǔ)全該函數(shù)圖象;
(3)當(dāng)t為多少時(shí),△PBF的面積S為4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(閱讀材料)觀察下列圖形與等式的關(guān)系,并填空:
+()2=1﹣()2;
+()2+()3=
+()2+()3+()4=
(規(guī)律探究)觀察下圖:
根據(jù)以上發(fā)現(xiàn),用含n的代數(shù)式填空:+()2+()3+()4+()5+…+()n= .
(解決問題)根據(jù)以上發(fā)現(xiàn),計(jì)算:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某零件制造車間有工人20名,已知每名工人每天可制造甲種零件6個(gè)或乙種零件5個(gè),且每制造一個(gè)甲種零件,可獲利潤(rùn)150元,每制造一個(gè)乙種零件可獲利潤(rùn)260元,在這20名工人中,車間每天安排名工人制造甲種零件,其余工人制造乙種零件,且生產(chǎn)乙種零件的個(gè)數(shù)不超過甲種零件個(gè)數(shù)的一半.
(1)請(qǐng)寫出此車間每天所獲利潤(rùn)(元)與(人)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求自變量的取值范圍;
(3)怎樣安排生產(chǎn)每天獲得的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中,小圓直徑AE的延長(zhǎng)線與大圓交于點(diǎn)B,點(diǎn)D在大圓上,BD與小圓相切于點(diǎn)F,AF的延長(zhǎng)線與大圓相交于點(diǎn)C,且CE⊥BD.找出圖中相等的線段并證明.
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