Question

（2013•金平區(qū)模擬）如圖，拋物線y=ax2+

1

3

x+c（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于A（-3，0）、B（4，0）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點M在線段AB上以每秒2個單位長度的速度從點A向點B運動，同時，點N在線段AC上以每秒1個單位長度的速度從點C向點A運動．設運動時間為t（0＜t＜3.5），試求出四邊形BCNM的面積S與t的函數(shù)關系式．當t為何值時，S的值最小，最小值是多少？
（3）點P在拋物線對稱軸上，點Q在拋物線上，在（2）的條件下，當四邊形BCNM的面積S最小時，是否存在這樣的點P與點Q，使以P，Q，B，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標（不寫求解過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A（-3，0）、B（4，0）兩點代入拋物線y=ax2+

1

3

x+c（a≠0），即可聯(lián)立兩式求出a，c的值，從而求出該拋物線的解析式；
（2）依題意，得AM=2t，CN=t，根據(jù)勾股定理可求AC，表示出AN，作ND⊥OA于點D，根據(jù)相似三角形的性質可表示出DN，根據(jù)三角形的面積即可得到四邊形BCNM的面積S與t的函數(shù)關系式，配方后可求S的最小值；    
（3）利用平行四邊形的性質結合圖形得出若以BN為對角線以及以BN為一邊時，分別得出P點坐標即可．

解答：解：（1）拋物線y=ax2+

1

3

x+c經過A（-3，0）、B（4，0）兩點，則

0=9a-1+c 0=16a+ 4 3 +c

，
解得

a=- 1 3 c=4

．
故拋物線的解析式為y=-

1

3

x2+

1

3

x+4；       
                  
（2）依題意，得AM=2t，CN=t，
∵OC=4，OA=3，∠AOC=90°，
∴AC=

OC2+OA2

=

42+32

=5，
∴AN=AC-CN=5-t，
作ND⊥OA于點D，
∵OC⊥OA，
∴ND∥OC，
∴

DN

OC

=

AN

AC

，
∴DN=

AN•OC

AC

=

4

5

(5-t)，
∴S=S_△ABC-S_△AMN
=

1

2

AB•OC-

1

2

AM•DN
=

1

2

×7×4-

1

2

×2t×

4

5

(5-t)
=

4

5

t2-4t+14，
∴S=

4

5

(t-

5

2

)2+9，
∴當t=

5

2

時，S的最小值是9；    
                          
（3）如圖，存在，
若以BN為對角線，N點坐標為（-

3

2

，2），則Q點的橫坐標為4-（

1

2

+

3

2

）=2，當x=2時，y=-

1

3

×2²+

1

3

×2+4=3

1

3

，則點P的縱坐標為2-3

1

3

=-

4

3

，故點P的坐標為（

1

2

，-

4

3

）；
若以BN為一邊，則Q點的橫坐標為

1

2

-（4+

3

2

）=-5，當x=-5時，y=-

1

3

×（-5）²+

1

3

×（-5）+4=-6，則點P的縱坐標為-6+2=-4，故點P的坐標為（

1

2

，-4）；
若以BN為一邊，則Q點的橫坐標為

1

2

+（4+

3

2

）=6，當x=6時，y=-

1

3

×6²+

1

3

×6+4=-6，則點P的縱坐標為-6-2=-8，故點P的坐標為（

1

2

，-8）．
故點P的坐標為（

1

2

，-

4

3

）、（

1

2

，-4）、（

1

2

，-8）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及平行四邊形的性質與判定和三角形面積求法等知識，根據(jù)已知結合圖形以及利用分類討論思想得出是解題關鍵．