Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，直線CD與AB的延長線交于點D，∠COB=2∠DCB．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）點E是的中點，CE交AB于點F，若AB=4，求EF•EC的值．

Answer 1

解：（1）證明：∵∠COB=∠A+∠OCA（三角形外角定理），
OA=OC，∴∠A=∠OCA，
∴∠COB=2∠OCA（等量代換），
又已知，∠COB=2∠DCB，
∴∠OCA=∠DCB，
又AB是⊙O的直徑，
∴∠OCA+∠BCO=90°，
∴∠DCB+∠BCO=90°（等量代換），
即∠DCO=90°，
∴CD⊥OC，
∴CD是⊙O的切線．

（2）連接AE、BE，

∵AB是⊙O的直徑，點E是的中點（已知），
∴∠AEB=90°，AE=BE，
∴AE²+BE²=AB²（勾股定理），
∴2BE²=4²，
∴BE²=8，
∵點E是的中點，
∴=，
∴∠EBF=∠ECB（相等弧所對的圓周角相等），
∠FEB=∠BEC，
∴△BEF∽△CEB，
∴=，
∴EF•EC=BE²=8．
分析：（1）要證CD是⊙O的切線，得證OC⊥CD，即證∠OCD=90°，由已知OA=OC，得∠OCA=∠OAC，∠COB=∠OCA+∠OAC=2∠OCA（三角形外角性質(zhì)），又已知，∠COB=2∠DCB．所以∠OCA=∠DCB，AB是⊙O的直徑，∠ACB=90°，通過等量代換得∠OCD=90°，即OC⊥CD．
（2）連接BE、AE，由已知點E是的中點，得AE=BE，∠BCE=∠EBF（相等弧所對的圓周角相等），又∠BEC=∠BEC，所以得到△BCE∽△FBE，即得：=?EF•EC=BE²，由AB是⊙O的直徑，點E是的中點，得等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理可求出BE，從而求得EF•EC的值．
點評：此題考查的知識點是切線的判定、圓周角定理、勾股定理及相似性的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是：
（1）通過已知證∠DCO=90°．
（2）由已知先根據(jù)勾股定理求出BE，再由點E是的中點，得出∠EBF=∠ECB，得出△BEF∽△CEB，從而得出答案．