Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，把矩形COAB繞點C順時針旋轉α度的角，得到矩形CFED，設FC與AB交于點H，且A（0，4）、C（8，0）．
（1）當α=60°時，△CBD的形狀是

 

．
（2）當AH=HC時，求直線FC的解析式．

Answer 1

考點：坐標與圖形變化-旋轉,待定系數法求一次函數解析式

專題：計算題

分析：（1）先根據旋轉的性質得∠BCD=60°，CB=CD，然后根據等邊三角形的判定方法得到△CBD為等邊三角形；
（2）設AH=HC=x，則BH=8-x，CB=4，在Rt△CBH中，根據勾股定理得到x²=（8-x）²+4²，解得x=5，則H點的坐標為（5，4），然后根據待定系數法確定直線FC的解析式．

解答：解：（1）∵矩形COAB繞點C順時針旋轉60度的角，得到矩形CFED，
∴∠BCD=60°，CB=CD，
∴△CBD為等邊三角形；
（2）∵A（0，4）、C（8，0），
∴OA=BC=4，OC=AB=8，
設AH=HC=x，則BH=8-x，CB=4，
在Rt△CBH中，
∵CH²=BH²+BC²，
∴x²=（8-x）²+4²，解得x=5，
∴H點的坐標為（5，4），
設直線FC的解析式為y=kx+b，
把C（8，0）、H（5，4）代入得

5k+b=4 8k+b=0

，解得

k=- 4 3 b= 32 3

，
∴直線FC的解析式為y=-

4

3

x+

32

3

．

點評：本題考查了坐標與圖形變化變化-旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標．常見的是旋轉特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了待定系數法求一次函數解析式．