Question

19．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點，點A的坐標(biāo)為（-1，0），點 C的坐標(biāo)為 （0，3），對稱軸是x=1．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）過頂點M和點C的直線y=kx+g與x軸交于點D，求點D的坐標(biāo)；
（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點N，與A、C、D三點構(gòu)成一個平行四邊形？若存在，寫出點N的坐標(biāo)；否則寫出理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱軸和A的坐標(biāo)求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理即可求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式求得頂點M的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線的解析式，然后令y=0，即可求得D點的坐標(biāo)；
（3）求得C點的對稱點N的坐標(biāo)，然后得到CN∥AD，且CN=AD，即可證得四邊形ADCN是平行四邊形，即可得出在二次函數(shù)的圖象上是否存在點N，與A、C、D三點構(gòu)成一個平行四邊形．

解答 解：（1）∵點A的坐標(biāo)為（-1，0），對稱軸是x=1．
∴拋物線與x軸的另一個交點B（3，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
∵點 C（0，3）在拋物線上，
∴3=-3a，
解得a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3，
∴這個二次函數(shù)的解析式為y=-x²+2x+3；
（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4），
∵C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+g=4}\\{g=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{g=3}\end{array}\right.$，
∴直線y=kx+g的解析式為y=x+3，
令y=0，求得x=-3，
∴D（-3，0）；
（3）存在，
如圖，把y=3代入y=-x²+2x+3得-x²+2x+3=3，
解得x₁=0，x₂=2，
∴點C的對稱點N的坐標(biāo)為（2，3），
∵CN=2，AD=3-1=2，
∴CN=AD，
∵CN∥x軸，
∴CN∥AD，
∴四邊形ADCN是平行四邊形，
∴在二次函數(shù)的圖象上是否存在點N，與A、C、D三點構(gòu)成一個平行四邊形，此時N（2，3）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的交點式、拋物線的對稱性、平行四邊形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及數(shù)形結(jié)合思想的運用是解答此題的關(guān)鍵．