Question

如圖，蘭州市某中學數(shù)學課題學習小組在“測量物體高度”的活動中，欲測量某公園內(nèi)一棵古樹DE的高度，他們在這棵古樹的正前方一座樓亭前的臺階上A點處測得古樹頂端D的仰角為30°，朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處，測得古樹頂端D的仰角為60°．已知AB⊥BE于點B，且AB為4米，臺階AC的坡度為1：

3

，且B、C、E三點在同一條直線上．（根據(jù)以上條件求解下列問題時測角器的高度忽略不計）
（1）請求出臺階AC的水平寬度BC；
（2）如圖，過點A做AF⊥DE于點F，請求出古樹DE的高度．

Answer 1

考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題,解直角三角形的應用-坡度坡角問題

專題：

分析：（1）根據(jù)臺階AC的坡度為1：

3

，可得AB：BC=1：

3

，由此求出臺階AC的水平寬度BC；
（2）過點A作AF⊥DE于F，可得四邊形ABEF為矩形，設DF=x，在Rt△ADF中表示出AF的長度，則CE=（

3

x-4

3

）米，在Rt△DCE中，由正切函數(shù)的定義得DE=

3

CE，由此列出方程x+4=

3

（

3

x-4

3

），解方程求出x的值，進而得到古樹DE的高度．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵AB：BC=1：

3

，AB=4，
∴BC=4

3

．
答：臺階的水平寬度BC為4

3

米；

（2）如圖，過點A作AF⊥DE于F，則四邊形ABEF為矩形，
∴AF=BE，EF=AB=4米．
設DF=x米．
在Rt△ADF中，
∵tan30°=

DF

AF

，
∴AF=

3

x米，
∴CE=（

3

x-4

3

）米．
在Rt△DCE中，
∵tan60°=

DE

CE

，
∴DE=

3

CE，
∴x+4=

3

（

3

x-4

3

），
∴x=8，
∴DE=DF+4=8+4=12．
答：古樹DE的高度為12米．

點評：本題考查了解直角三角形的應用，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形并選擇正確的邊角關(guān)系解直角三角形，難度一般．