Question

4．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是斜邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿DE所在的直線折疊得到△A₁DE．
（1）當(dāng)點(diǎn)A₁落在邊BC（含邊BC的端點(diǎn)）上時(shí)，折痕DE的長是多少？（可在備用圖上作圖）
（2）連接A₁B，當(dāng)點(diǎn)E在邊AB上移動(dòng)時(shí)，求A₁B長的最小值．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)A₁落在邊BC即點(diǎn)A₁與點(diǎn)C重合，可知此時(shí)DE為△ABC的中位線，得DE=$\frac{1}{2}$BC；
（2）Rt△BCD中求出BD的長，由折疊可得A₁D=AD=1，根據(jù)A₁B+A₁D≥BD可得A₁B長的最小值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)D到邊BC的距離是DC=DA=1，
∴點(diǎn)A₁落在邊BC上時(shí)，點(diǎn)A₁與點(diǎn)C重合，如圖1所示．
此時(shí)，DE為AC的垂直平分線，即DE為△ABC的中位線，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=1；

（2）連接BD，DE，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由折疊知△A₁DE≌△ADE，
∴A₁D=AD=1，
由A₁B+A₁D≥BD，得：A₁B≥BD-A₁D=$\sqrt{5}$-1，
∴A₁B長的最小值是$\sqrt{5}$-1．

點(diǎn)評 本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理及三角形全等的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握折疊變換的性質(zhì)．