Question

如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，連接BE，∠ABE=30°，BE=DE，連接BD．點(diǎn)M為線段DE上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥BD，與BE相交于點(diǎn)N．
（1）如果AB=2

3

，求邊AD的長；
（2）如圖1，在（1）的條件下，如果點(diǎn)M為線段DE的中點(diǎn)，連接CN．過點(diǎn)M作MF⊥CN，垂足為點(diǎn)F，求線段MF的長；
（3）試判斷BE、MN、MD這三條線段的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的四個(gè)內(nèi)角都是直角、對邊相等的性質(zhì)求得AB=CD，∠A=∠ADC=90°．然后在Rt△ABE中利用特殊角的三角函數(shù)值求得AB、AE、BE及DE的值；所以由AD=AE+DE求得AD的值即可；
（2）連接CM．在Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD=4

3

，然后利用直角三角形的邊角關(guān)系求得∠ADB=30°，由平行線MN∥BD的內(nèi)錯(cuò)角相等知，∠AMN=∠ADB=30°；再由平行線MN∥BD分線段成比例求得MN的長度；最后在Rt△CDM中利用邊角關(guān)系、勾股定理求解；
（3）過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為點(diǎn)F（圖1）．由已知條件BE=DE，EF⊥BD，求得BD=2DF；然后在Rt△DEF中，利用邊角關(guān)系求得BD與BE的數(shù)量關(guān)系；再有平行線MN∥BD分線段成比例解得EN與MN的關(guān)系．

解答：解：（1）由矩形ABCD，得AB=CD，∠A=∠ADC=90°．
在Rt△ABE中，∵∠ABE=30°，AB=2

3

，
∴AE=AB•tan∠ABE=2

3

×

3

3

=2，BE=2AE=4．（2分）
又∵BE=DE，∴DE=4．
于是，由AD=AE+DE，得AD=6．（2分）


（2）連接CM．
在Rt△ABD中，BD=

AB2+AD2

=

12+36

=4

3

．（1分）
∴BD=2AB，即得∠ADB=30°．
∵M(jìn)N∥BD，∴∠AMN=∠ADB=30°．（1分）
又∵M(jìn)N∥BD，點(diǎn)M為線段DE的中點(diǎn)，
∴DM=EM=2，

MN

BD

=

EM

ED

=

1

2

．
∴MN=

1

2

BD=2

3

．（1分）
在Rt△CDM中，tan∠CMD=

CD

MD

=

2 3

2

=

3

．
∴∠CMD=60°，即得CM=4，∠CMN=90°．（1分）
由勾股定理，得CN=

MN2+CM2

=

12+16

=2

7

．
于是，由MF⊥CN，∠CMN=90°，
得MF=

MN•CM

CN

=

2 3 ×4

2 7

=

4 21

7

．（1分）

（3）BE=DM+

3

3

MN．（1分）
證明如下：過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為點(diǎn)F．
∵BE=DE，EF⊥BD，∴BD=2DF．（1分）
在Rt△DEF中，由∠EDB=30°，
得DF=DE•cos∠EDB=

3

2

DE，即得BD=

3

BE．（1分）
∵M(jìn)N∥BD，∴

MN

BD

=

EN

EB

，

DM

DE

=

BN

BE

，即得

MN

3 BE

=

EN

BE

，BN=DM．
∴EN=

3

3

MN．（1分）
于是，由BE=BN+EN，得BE=DM+

3

3

MN．

點(diǎn)評：本題結(jié)合矩形的性質(zhì)考查了平行線分線段成比例、勾股定理的應(yīng)用、直角三角形的解法．本題是利用圖形間的角、邊關(guān)系求解．