Question

6．如圖，直線l₁：y=-x+3與x軸相交于點(diǎn)A，直線l₂：y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-1），與x軸交于點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，與直線l₁相交于點(diǎn)D．
（1）求直線l₂的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn)P是l₂上的一點(diǎn)，若△ABP的面積等于△ABD的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，3），是否存在m的值使得QA+QB最��？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)（3，-1），點(diǎn)B（6，0）代入直線l₂，求出k、b的值即可；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{3}$t-2），求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再由S_△ABP=2S_△ABD求出t的值即可；
（3）作直線y=3，作點(diǎn)A關(guān)于直線y=3的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B，利用待定系數(shù)法求出其解析式，根據(jù)點(diǎn)Q（m，3）在直線A′B上求出m的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題知：$\left\{\begin{array}{l}-1=3k+b\\ 0=6k+b\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{3}\\ b=-2\end{array}\right.$，
故直線l₂的函數(shù)關(guān)系式為：y=$\frac{1}{3}$x-2；

（2）由題及（1）可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{3}$t-2）．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=-x+3\\ y=\frac{1}{3}x-2\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{15}{4}\\ y=-\frac{3}{4}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{15}{4}$，-$\frac{3}{4}$）．
∵S_△ABP=2S_△ABD，
∴$\frac{1}{2}$AB•|$\frac{1}{3}$t-2|=2×$\frac{1}{2}$AB•|-$\frac{3}{4}$|，即|$\frac{1}{3}$t-2|=$\frac{3}{2}$，解得：t=$\frac{21}{2}$或t=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{21}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，$-\frac{3}{2}$）；

（3）作直線y=3（如圖），再作點(diǎn)A關(guān)于直線y=3的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B．
由幾何知識(shí)可知：A′B與直線y=3的交點(diǎn)即為QA+QB最小時(shí)的點(diǎn)Q．
∵點(diǎn)A（3，0），
∴A′（3，6）
∵點(diǎn)B（6，0），
∴直線A′B的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+12．
∵點(diǎn)Q（m，3）在直線A′B上，
∴3=-2m+12
解得：m=$\frac{9}{2}$，
故存在m的值使得QA+QB最小，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{9}{2}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，三角形的面積公式等知識(shí)，在解答（3）時(shí)要注意作出輔助線，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解．