Question

如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

（3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

(1)拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2

(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）

(3)當(dāng)點E運動到（2，1）時，四邊形CDBF的面積最大，S四邊形CDBF的面積最大=．

【解析】

試題分析：（1）將點A、C的坐標(biāo)分別代入可得二元一次方程組，解方程組即可得出m、n的值；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得對稱軸方程，由勾股定理求出CD的值，以點C為圓心，CD為半徑作弧交對稱軸于P1；以點D為圓心CD為半徑作圓交對稱軸于點P2，P3；作CH垂直于對稱軸與點H，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出結(jié)論；

（3）由二次函數(shù)的解析式可求出B點的坐標(biāo)，從而可求出BC的解析式，從而可設(shè)設(shè)E點的坐標(biāo)，進而可表示出F的坐標(biāo)，由四邊形CDBF的面積=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．

試題解析：（1）∵拋物線y=﹣x2+mx+n經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，2）．

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2；

（2）∵y=﹣x2+x+2，

∴y=﹣（x﹣）2+，

∴拋物線的對稱軸是x=．

∴OD=．

∵C（0，2），

∴OC=2．

在Rt△OCD中，由勾股定理，得

CD=．

∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．

作CH⊥x軸于H，

∴HP1=HD=2，

∴DP1=4．

∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；

（3）當(dāng)y=0時，0=﹣x2+x+2

∴x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得

，

解得：，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．

如圖2，過點C作CM⊥EF于M，設(shè)E（a，﹣a+2），F(xiàn)（a，﹣a2+a+2），

∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．

∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，

=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），

=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．

=﹣（a﹣2）2+

∴a=2時，S四邊形CDBF的面積最大=，

∴E（2，1）．

考點：1、勾股定理；2、等腰三角形的性質(zhì)；3、四邊形的面積；4、二次函數(shù)的最值