【探究】如圖1,在△ABC中,D是AB邊的中點(diǎn),AE⊥BC于點(diǎn)E,BF⊥AC于點(diǎn)F,AE,BF相交于點(diǎn)M,連接DE,DF.則DE,DF的數(shù)量關(guān)系為
 

【拓展】如圖2,在△ABC中,CB=CA,點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn),點(diǎn)M在△ABC的內(nèi)部,且∠MBC=∠MAC.過(guò)點(diǎn)M作ME⊥BC于點(diǎn)E,MF⊥AC于點(diǎn)F,連接DE,DF.求證:DE=DF;
【推廣】如圖3,若將上面【拓展】中的條件“CB=CA”變?yōu)椤癈B≠CA”,其他條件不變,試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
考點(diǎn):全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,三角形中位線定理
專題:
分析:探究:依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得.
拓展:連接CD,可證得CD是角ACD的平分線,根據(jù)△CMF≌△CME可求得CF=CE,從而求得AF=BE,然后再證得△CFD≌△CED即可求得.
推廣:作△ABM的中位線DG、DF,可得DH=FG,DG=HE,四邊形DHMG是平行四邊形,根據(jù)已知和平行四邊形求得∠DGF=∠DHE,求得△DHE≌△FGD,從而求得結(jié)論.
解答:解:【探究】DE=DF.

【拓展】如圖2,連接CD.
∵在△A B C中,C B=C A,
∴∠CAB=∠CBA.
∵∠MBC=∠MAC,
∴∠MAB=∠MBA,
∴AM=BM.
∵點(diǎn) D是 邊 AB的 中點(diǎn),
∴點(diǎn)M在CD上,
∴CM平分∠FCE.
∴∠FCD=∠ECD.
∵M(jìn)E⊥BC于E,MF⊥AC于F,
∴MF=ME.
在△CMF和△CME中,
MF=ME
∠FCD=∠ECD
CM=CM

∴△CMF≌△CME(SAS).
∴CF=CE.
在△CFD與△CED中
CF=CE
∠FCD=∠ECD
CD=CD

∴△CFD≌△CED(SAS).
∴DE=DF,

【推廣】DE=DF.
如圖3,作AM的中點(diǎn)G,BM的中點(diǎn)H.
∵點(diǎn) D是 邊 AB的 中點(diǎn),
DG∥BM,DG=
1
2
BM

同理可得:DH∥AM,DH=
1
2
AM

∵M(jìn)E⊥BC于E,H 是BM的中點(diǎn),
∴在Rt△BEM中,HE=
1
2
BM=BH

∴DG=HE,
同理可得:DH=FG.
∵DG∥BM,DH∥GM,
∴四邊形DHMG是平行四邊形.
∴∠DGM=∠DHM.
∵∠MGF=2∠MAC,∠MHE=2∠MBC,
又∵∠MBC=∠MAC,
∴∠MGF=∠MHE.
∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE.
∴∠DGF=∠DHE,
在△DHE與△FGD中,
DG=HE
∠DGF=∠DHE
DH=FG

∴△DHE≌△FGD(SAS),
∴DE=DF.
點(diǎn)評(píng):本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用,三角形的中位線的性質(zhì)的運(yùn)用,直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)的運(yùn)用,平行四邊形性質(zhì)的運(yùn)用,解答時(shí)根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)制造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.
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A、甲的成績(jī)比乙的成績(jī)穩(wěn)定
B、乙的成績(jī)比甲的成績(jī)穩(wěn)定
C、甲、乙兩人的成績(jī)一樣穩(wěn)定
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A、m<a<b<n
B、a<m<n<b
C、a<m<b<n
D、m<a<n<b

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1
4
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(1)求該拋物線的解析式;
(2)求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo),判定點(diǎn)A′是否在拋物線上,并說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線,交線段CA′于點(diǎn)M,是否存在這樣的點(diǎn)P,使四邊形PACM是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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