Question

2．在矩形紙片ABCD中，AB=16，AD=12，點P在邊AB上，若將△DAP沿DP折疊，使點A恰好落在矩形對角線上的點A′處，則AP的長可能為②④．（把所有正確結論的序號都選上）
①5；②6；③8；④9．

Answer 1

分析 分兩種情況探討：點A落在矩形對角線BD上，點A落在矩形對角線AC上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通過解方程可得答案．

解答 解：，①點A落在矩形對角線BD上，如圖1，
∵AB=16，BC=12，
∴BD=20，
根據(jù)折疊的性質，AD=A′D=12，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，
∴BA′=8，
設AP=x，則BP=16-x，
∵BP²=BA′²+PA′²，
∴（16-x）²=x²+8²，
解得：x=6，
∴AP=6；
②點A落在矩形對角線AC上，如圖2，
根據(jù)折疊的性質可知DP⊥AC，
∴△DAP∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AP}$=$\frac{AB}{BC}$，
AP=$\frac{AD•BC}{AB}$=9，
故答案為：②④．

點評 本題考查了折疊問題、勾股定理，矩形的性質以及三角形相似的判定與性質；解題中，找準相等的量是正確解答題目的關鍵．