Question

已知：直角梯形中，∥，∠=，以為直徑的圓交于點(diǎn)、，連結(jié)、、.

（1）在不添加其他字母和線的前提下，直接寫(xiě)出圖1中的兩對(duì)相似三角形：

_____________________，______________________ ；

（2）直角梯形中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，在軸正半軸上建立直角坐標(biāo)系（如圖2），若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、，且為拋物線的頂點(diǎn).

①寫(xiě)出頂點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）___________；

②求拋物線的解析式；

③在軸下方的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊥軸于點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與△相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）△∽△，△∽△.……………4分

（2）①（1，）…………………………………………1分

②拋物線的解析式為：………………3分

③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為（，）、（，）………………2分

當(dāng)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)不存在           …………………………………2分

【解析】（1）由圓周角定理知：∠ADB=90°，首先可聯(lián)想到的相似三角形是△BCD和△DOA；易知∠BAD=∠BED，可得的另一對(duì)相似三角形是Rt△ABD和Rt△EBC；

（2）①用公式法或配方法均能求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②根據(jù)拋物線的解析式，易求得B、D、A的坐標(biāo)，也就得到了OA、OD、CD、BC的長(zhǎng)，根據(jù)（1）得出的相似三角形，即可根據(jù)對(duì)應(yīng)的成比例線段求出a的值，也就能求出拋物線的解析式；

③由②易知△OAD是等腰Rt△，若△PAN與△OAD相似，則△PAN也必須是等腰Rt△；可根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)PN=AN的條件來(lái)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)