Question

已知：直角梯形中，∥，∠=，以為直徑的圓交于點、，連結(jié)、、.

（1）在不添加其他字母和線的前提下，直接寫出圖1中的兩對相似三角形：

_____________________，______________________ ；

（2）直角梯形中，以為坐標原點，在軸正半軸上建立直角坐標系（如圖2），若拋物線經(jīng)過點、、，且為拋物線的頂點.

①寫出頂點的坐標（用含的代數(shù)式表示）___________；

②求拋物線的解析式；

③在軸下方的拋物線上是否存在這樣的點，過點作⊥軸于點，使得以點、、為頂點的三角形與△相似？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）△∽△，△∽△.……………4分

（2）①（1，）…………………………………………1分

②拋物線的解析式為：………………3分

③當時，點為（，）、（，）………………2分

當時，兩個點不存在           …………………………………2分

【解析】（1）由圓周角定理知：∠ADB=90°，首先可聯(lián)想到的相似三角形是△BCD和△DOA；易知∠BAD=∠BED，可得的另一對相似三角形是Rt△ABD和Rt△EBC；

（2）①用公式法或配方法均能求出頂點B的坐標；

②根據(jù)拋物線的解析式，易求得B、D、A的坐標，也就得到了OA、OD、CD、BC的長，根據(jù)（1）得出的相似三角形，即可根據(jù)對應的成比例線段求出a的值，也就能求出拋物線的解析式；

③由②易知△OAD是等腰Rt△，若△PAN與△OAD相似，則△PAN也必須是等腰Rt△；可根據(jù)拋物線的解析式設出P點坐標，然后根據(jù)PN=AN的條件來求出P點的坐標