Question

15．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連結(jié)BE并延長交CD的延長線于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G．
（1）若FD=2，$\frac{ED}{BC}=\frac{1}{3}$，求線段DC的長；
（2）求證：EF•GB=BF•GE．

Answer 1

分析 （1）由平行線得出△DEF∽△CBF，得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出FC，即可得出DC的長；
（2）由平行線得出△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{EF}{BF}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{AE}{BC}=\frac{GE}{GB}$，由已知條件得出AE=DE，因此$\frac{EF}{BF}=\frac{GE}{GB}$，即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴$\frac{FD}{FC}=\frac{ED}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴FC=3FD=6，
∴DC=FC-FD=4；
（2）證明：∵AD∥BC，
∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{DE}{BC}$，$\frac{AE}{BC}=\frac{GE}{GB}$，
∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{GE}{GB}$，
∴EF•GB=BF•GE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握梯形的性質(zhì)，證明三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．