如圖,凸六邊形ABCDEF的六個(gè)角都是120°,邊長(zhǎng)AB=2cm,BC=8cm,CD=11cm,DE=6cm,你能求出這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)嗎?
解析:要求六邊形的周長(zhǎng),必須先求出邊EF和AF的長(zhǎng).由六邊形ABCDEF的六個(gè)角都是120°,可知六邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)都是60°,如圖4,如果延長(zhǎng)BA,得到的∠PAF=60°,延長(zhǎng)EF,得到的∠PFA=60°,兩條直線(xiàn)相交形成三角形APF,在三角形APF中,∠P的度數(shù)為180°-60°-60°=60°,因此三角形APF是等邊三角形.同樣的道理,我們分別延長(zhǎng)AB、DC,交于點(diǎn)G,那么三角形BGC為等邊三角形.分別延長(zhǎng)FE、CD交于點(diǎn)H,則三角形DHE也是等邊三角形.所以∠P=∠G=∠H=60°.所以三角形GHP也是等邊三角形.于是我們得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四個(gè)等邊三角形.于是就把多邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和等邊三角形有關(guān)的問(wèn)題.利用等邊三角形的三邊相等的性質(zhì),可以輕松的求出AF和EF的長(zhǎng),從而求出六邊形ABCDEF的周長(zhǎng).
解:如圖4,分別作直線(xiàn)AB、CD、EF的延長(zhǎng)線(xiàn)使它們交于點(diǎn)G、H、P.
因?yàn)榱呅?i>ABCDEF的六個(gè)角都是120°,
所以六邊形ABCDEF的每一個(gè)外角的度數(shù)都是60°.
所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等邊三角形.
所以GC=BC=8cm,DH=DE=6cm.
所以GH=8+11+6=25cm,FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8=15cm,EF=PH-PF-EH=25-15-6=4cm.
所以六邊形的周長(zhǎng)為2+8+11+6+4+15=46cm.
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