Question

如圖，凸六邊形ABCDEF的六個(gè)角都是120°，邊長(zhǎng)AB＝2cm，BC=8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，你能求出這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)嗎？

　　　　　

Answer 1

解析：要求六邊形的周長(zhǎng)，必須先求出邊EF和AF的長(zhǎng)．由六邊形ABCDEF的六個(gè)角都是120°，可知六邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)都是60°，如圖4，如果延長(zhǎng)BA，得到的∠PAF=60°，延長(zhǎng)EF，得到的∠PFA=60°，兩條直線(xiàn)相交形成三角形APF，在三角形APF中，∠P的度數(shù)為180°－60°－60°＝60°，因此三角形APF是等邊三角形．同樣的道理，我們分別延長(zhǎng)AB、DC，交于點(diǎn)G，那么三角形BGC為等邊三角形．分別延長(zhǎng)FE、CD交于點(diǎn)H，則三角形DHE也是等邊三角形．所以∠P=∠G=∠H=60°．所以三角形GHP也是等邊三角形．于是我們得到三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP四個(gè)等邊三角形．于是就把多邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和等邊三角形有關(guān)的問(wèn)題．利用等邊三角形的三邊相等的性質(zhì)，可以輕松的求出AF和EF的長(zhǎng)，從而求出六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)．

　　解：如圖4，分別作直線(xiàn)AB、CD、EF的延長(zhǎng)線(xiàn)使它們交于點(diǎn)G、H、P．

　　因?yàn)榱�邊�?i>ABCDEF的六個(gè)角都是120°，

　　所以六邊形ABCDEF的每一個(gè)外角的度數(shù)都是60°．

　　所以三角形APF、三角形BGC、三角形DHE、三角形GHP都是等邊三角形．

　　所以GC=BC=8cm，DH=DE＝6cm．

　　所以GH=8＋11＋6＝25cm，FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8＝15cm，EF=PH-PF-EH=25-15-6＝4cm．

　　所以六邊形的周長(zhǎng)為2＋8+11+6+4+15＝46cm．