Question

直線y=-x+6分別與x軸、y軸交于點A、B，經過A、B兩點的拋物線與x軸的另一交點為C，且其對稱軸為x=3．
（1）求這條拋物線對應的函數關系式；
（2）設D（x，y）是拋物線在第一象限內的一個點，點D到直線AB的距離為d、試寫出d關于x的函數關系式，這個函數是否有最大值或最小值？如果有，并求這個值和此時點D的坐標；如果沒有，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一次函數的性質求出A、B兩點的坐標，根據函數的對稱性，求出C點的坐標，設出一般式、頂點式、交點式均可根據待定系數法求函數解析式；
（2）根據同一圖形面積相等，利用補形法或分割法建立起d和x之間的函數關系式，根據二次函數最值的求法解答．
解答：解：（1）直線y=-x+6與x、y軸的交點分別為A（8，0）、B（0，6）（1分）
[方法1]設拋物線對應的函數關系式為y=ax²+bx+c，
因其對稱軸為x=3，
所以點
C（-2，0）
將點B（0，6）代入y=ax²+bx+c得c=6（2分）
由題意得（4分）
解得（5分）
所以，所求的函數關系式為y=-x²+x+6；（6分）
[方法2]設拋物線對應的次函數關系式為y=a（x-3）²+k（2分）
由題意得（4分）
解得（5分）
所以，所求的函數關系式為y=-（x-3）²+（6分）

（2）[方法1]連接AD、BD，過D作DE⊥OA于E，AB==10
因為S_△ABD=AB•d=5d（7分）
又S_△ABD=S_{四邊形OADB}-S_△AOB=S_梯形OEDB+S_△ADE-S_△AOB（8分）
=+AE•DE-OA•OB（9分）
所以d=-（x-4）²+4.8（11分）
=+-×6×8=3x+4y-24
=3x+4（-x²+x+6）-24=-x²+12x=-（x-4）²+24（10分）
所以d=-（x-4）²+4.8（11分）
所以，當x=4時，d取得最大值4.8，這時點D的坐標為（4，9）．（12分）
[方法2]連接AD、BD，過點D作DE⊥OA，垂足為E，DE交AB于點F，
因點F在直線AB上，
所以點F的坐標為（x，-x+6），AB==10
由于DE⊥OA，
所以OE、AE分別是△BDF和△ADF的高
因為S_△ABD=AB•d=5d（7分）
又S_△ABD=S_△ADF+S_△BDF=DF•AE+DF•OE（8分）
=DF•（AE+OE）=DF•OA=4DF（9分）
=4（DE-EF）=4[y-（-x+6）]=4（-x²+x+6+x-6）=-（x-4）²+24（10分）
所以d=-（x-4）²+4.8（11分）
所以，當x=4時，d取得最大值4.8，這時點D的坐標為（4，9）．（12分）
點評：此題有一定的開放性，著重考查了兩個方面的內容：（1）根據待定系數法求函數解析式；
（2）通過圖形面積，構造二次函數，將距離問題轉化為二次函數的最值問題解答．