Question

3．如圖，拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P、與直線BC相交于點(diǎn)M．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得|MN-ON|的值最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）連接PB，請(qǐng)?zhí)骄浚涸趻佄锞�上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QMB與△PMB的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，可得N在直線OM上，根據(jù)解方程組，可得答案；
（3）根據(jù)平行線間的距離相等，可得過P點(diǎn)平行BC的直線，根據(jù)解方程組，可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)BC向下平移BC與l₁相距的單位，可得l₂，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答 解：（1）將A、B兩點(diǎn)代入解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為y=-x²+2x+3
（2）存在點(diǎn)N使得|MN-ON|的值最大．過程如下：
如圖1：

作直線OM交拋物線于兩點(diǎn)，則兩交點(diǎn)即為N點(diǎn)，
y=-x²+2x+3的對(duì)稱軸為x=1．
設(shè)BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
BC的解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=2，即M（1，2）．
設(shè)直線OM的解析式為y=kx，將M（1，2）代入函數(shù)解析式，得
k=2．
直線OM的解析式為y=2x．
聯(lián)立拋物線與直線OM的解析式，可得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=2x}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{3}}\\{{y}_{1}=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\sqrt{3}}\\{{y}_{2}=-2\sqrt{3}}\end{array}\right.$
∴存在點(diǎn)N，其坐標(biāo)為N₁（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），N₂（-$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$）
（3）如圖2：
，
由題意可得：P（1，4），直線BC的解析式為y=-x+3
∵S_△QMB=S_△PMB，
∴點(diǎn)Q在過點(diǎn)P且平行于BC的直線l₁上，設(shè)其交點(diǎn)為Q₁；或在BC的下方且平行于BC的直線l₂上，設(shè)其交點(diǎn)為Q₂，Q₃，
∴設(shè)l₁的解析式為y=-x+b
把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入可得：b=5
∴設(shè)l₁的解析式為y=-x+5
聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$（不符合題意，舍），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴Q₁（2，3）．
根據(jù)對(duì)稱性可求得直線l₂的解析式為y=-x+1
聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$
∴Q₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），Q₃（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q共有3個(gè)，其坐標(biāo)分別為Q₁（2，3），Q₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），Q₃（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式；利用同一條直線上兩線段的差最大得出N在直線OM上是解題關(guān)鍵；利用平行線間的距離相等得出Q在過P點(diǎn)平行于BC的直線上是解題關(guān)鍵，注意BC下方距的距離是BC與l₁相距的單位l₂上存在符合條件的點(diǎn)，以防遺漏．