Question

1．如圖在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，過B作BF⊥AE交AE于點(diǎn)F，將△ABF沿AB翻折得到△ABG，將△ABG繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)角a，（其中0°＜a＜180°）記旋轉(zhuǎn)中的△ABG為△AB′G′，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)直線B′G′分別與直線AD、直線AC交于點(diǎn)M、N，當(dāng)MA=MN時，線段MD長為8-$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 如圖作MP⊥AC垂足為P，EQ⊥AC于Q．于△AEB≌△AEQ，推出AQ=AB=6，QC=4，設(shè)BE=EQ=x，在Rt△CEQ中，于EC²=EQ²+CQ²，可得x²+4²=（8-x）²，x=3，推出BE=EQ=3，AE=3$\sqrt{5}$，推出BF=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，AG′=AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，于sin∠ANM=sin∠DAC=$\frac{3}{5}$=$\frac{AG′}{AN}$，推出AN=4$\sqrt{5}$，在Rt△APM中，AP=PN=2$\sqrt{5}$，可得$\frac{AP}{AM}$=cos∠DAC=$\frac{4}{5}$，推出AM=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，推出DM=AD-AM=8-$\frac{5\sqrt{5}}{2}$即可．

解答 解：如圖，AM=NM，作MP⊥AC垂足為P，EQ⊥AC于Q．
∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BC=AD=8，AB=CD=6，AD∥BC
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵∠EAB=∠EAQ，AE=AE，∠ABE=∠AQE，
∴△AEB≌△AEQ，
∴AQ=AB=6，QC=4，設(shè)BE=EQ=x，
在Rt△CEQ中，∵EC²=EQ²+CQ²，
∴x²+4²=（8-x）²，
∴x=3，
∴BE=EQ=3，AE=3$\sqrt{5}$，
∴BF=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，AG′=AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∵M(jìn)A=MN，
∴sin∠ANM=sin∠DAC=$\frac{3}{5}$=$\frac{AG′}{AN}$，
∴AN=4$\sqrt{5}$，
在Rt△APM中，AP=PN=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AP}{AM}$=cos∠DAC=$\frac{4}{5}$，
∴AM=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴DM=AD-AM=8-$\frac{5\sqrt{5}}{2}$
故答案為8-$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，題目有點(diǎn)難度，屬于中考壓軸題．