Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點為A(2，)，拋線物與y軸交于點B(0，)，點C在其對稱軸上且位于點A下方，將線段AC繞點C按順時針方向旋轉90°，點A落在拋物線上的點P處．

(1)求拋物線的解析式；

(2)求線段AC的長；

(3)將拋物線平移，使其頂點A移到原點O的位置，這時點P落在點D的位置，如果點M在y軸上，且以O，C，D，M為頂點的四邊形的面積為8，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣(x﹣2)2+；(2)2；(3)M點的坐標為(0，)或(0，﹣)

【解析】

（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-2）2+，將點B坐標代入可求a的值，即可求解；
（2）設AC=t，則點C（2，-t），利用參數(shù)t表示點P坐標，代入解析式可求解；
（3）由平移的性質可求點D坐標，由面積公式可求解．

解：(1)設拋物線的解析式為：y＝a(x﹣2)2+，

∵拋線物與y軸交于點B(0，)，

∴＝a(0﹣2)2+，

∴a＝﹣

∴物線的解析式為：y＝﹣(x﹣2)2+；

(2)∵頂點A(2，)，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，

∴設AC＝t，則點C(2，﹣t)，

∵將線段AC繞點C按順時針方向旋轉90°，點A落在拋物線上的點P處．

∴∠ACP＝90°，AC＝PC＝t，

∴點P(2+t，﹣t)，

∵點P在拋物線上，

∴﹣t＝﹣(2+t﹣2)2+，

∴t1＝0(不合題意舍去)，t2＝2，

∴線段AC的長為2；

(3)∵AC＝2，P點坐標為(4，)，C點坐標為(2，)，

∵拋物線平移，使其頂點A(2，)移到原點O的位置，

∴拋物線向左平移2個單位，向下平移個單位，

而P點(4，)向左平移2個單位，向下平移個單位得到點D，

∴D點坐標為(2，﹣2)，

設M(0，m)，

當m＞0時，(m++2)2＝8，解得m＝，此時M點坐標為(0，)；

當m＜0時，(﹣m++2)2＝8，解得m＝﹣，此時M點坐標為(0，﹣)；

綜上所述，M點的坐標為(0，)或(0，﹣)．