Question

市政府為改善居民的居住環(huán)境，修建了環(huán)境幽雅的環(huán)城公園，為了給公園內(nèi)的草評(píng)定期噴水，安裝了一些自動(dòng)旋轉(zhuǎn)噴水器，如圖所示，設(shè)噴水管AB高出地面1.5m，在B處有一個(gè)自動(dòng)旋轉(zhuǎn)的噴水頭，-瞬間噴出的水流呈拋物線狀．噴頭B與水流最高點(diǎn)C的連線與地平面成45°的角，水流的最高點(diǎn)C離地平面距離比噴水頭B離地平面距離高出2m，水流的落地點(diǎn)為D．在建立如圖所示的直角坐標(biāo)系中：
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）求水流的落地點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離是多少m？

Answer 1

分析：（1）把拋物線的問(wèn)題放到直角坐標(biāo)系中解決，是探究實(shí)際問(wèn)題常用的方法，本題關(guān)鍵是解等腰直角三角形，求出拋物線頂點(diǎn)C（2，3.5）及B（0，1.5），設(shè)頂點(diǎn)式求解析式；
（2）求AD，實(shí)際上是求當(dāng)y=0時(shí)點(diǎn)D橫坐標(biāo)．

解答：解：在如圖所建立的直角坐標(biāo)系中，
由題意知，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1.5），∠CBE=45°，
∴△BEC為等腰直角三角形，
∴BE=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3.5）
（1）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為
y=ax²+bx+c（a≠0），
則拋物線過(guò)點(diǎn)（0，1.5）頂點(diǎn)為（2，3.5），
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=c=1.5
由-

b

2a

=2，得b=-4a，
由

4ac-b2

4a

=3.5，得

6a-16a2

4a

=3.5
解之，得a=0（舍去），a=-

1

2

，
∴b=-4a=2．
所以拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+2x+

3

2

．

（2）∵D點(diǎn)為拋物線y=-

1

2

x²+2x+

3

2

的圖象與x軸的交點(diǎn)，
∴當(dāng)y=0時(shí)，即：-

1

2

x²+2x+

3

2

=0，
解得x=2±

7

，
x=2-

7

不合題意，舍去，取x=2+

7

．
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2+

7

，0），
∴AD=（2+

7

）（m）．
答：水流的落地點(diǎn)D到A點(diǎn)的距離是（2+

7

）m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．