Question

如圖，在△ABC中，AC=AB=2，∠A=90°，將一塊與△ABC全等的三角板的直角頂點放在點C上，一直角邊與BC重疊．
（1）操作1：固定△ABC，將三角板沿C→B方向平移，使其直角頂點落在BC的中點M，如圖2所示，探究：三角板沿C→B方向平移的距離為______

Answer 1

【答案】分析：（1）M是BC的中點，三角板沿C→B方向平移的距離為CM，根據勾股定理可求BC，那么CM可求；
（2）連AM，分別證明△MAQ≌△MBP和△MAP≌△MCQ，那么四邊形MPAQ的面積S就是△ABC面積的一半；
（3）用四邊形MPAQ的面積減去△APQ可得△MPQ的面積，而AQ=PB=x，AP=2-x，據此列出y關于x的函數關系式，將函數值代入函數關系式可得自變量，根據自變量可以判斷四邊形MPAQ的形狀．
解答：解：（1）BC==2
∴CM=BC=
故三角板沿C→B方向平移的距離為：．

（2）四邊形MPAQ的面積S不變，如圖，連AM，M是等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，

∴AM=BM，而∠QMA=∠PMB=a，∠QAM=∠PBM=45°
∴△MAQ≌△MBP，
同理可得：△MAP≌△MCQ，
∴S_{四邊形MPAQ}=S_△MAQ+S_△MAP=S_△ABC=××2×2=1

（3）y=1-x（2-x）=x²-x+1
如果y的值是四邊形MPAQ的面積的一半，
則有，x²-x+1=1× 解得，x=1．
四邊形MPAQ為正方形．
點評：本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性質、正方形的判定及函數關系式的運用．