Question

（2013•平遙縣模擬）如圖，△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．
（1）求證：△AOC≌△BOD；
（2）若AB=3，AD：BD=1：2，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質可得AO=BO，CO=DO，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠AOC=∠BOD，再利用“邊角邊”證明△AOC和△BOD全等；
（2）根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠CAO=∠B=45°，全等三角形對應邊相等可得AC=BD，然后求出∠CAD=90°，再求出AD、BD的長，在Rt△ACD中，利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：（1）證明：∵△AOB和△COD均為等腰直角三角形，
∴AO=BO，CO=DO，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠AOD=∠COD=90°，
∠BOD+∠AOD=∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，

AO=BO ∠AOC=∠BOD CO=DO

，
∴△AOC≌△BOD；

（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=∠B=45°，AC=BD，
∴∠CAD=∠CAO+∠BAO=45°+45°=90°，
∵AB=3，AD：BD=1：2，
∴AD=3×

1

1+2

=1，BD=3×

2

1+2

=2，
在Rt△ACD中，CD=

AC2+AD2

=

22+12

=

5

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，比較簡單，熟練掌握等腰直角三角形的性質，得到三角形全等的條件是解題的關鍵．