Question

把拋物線l₁：y=-x²向右平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到拋物線l₂．如圖，點A、B分別是拋物線l₂與x軸的交點，點C是拋物線l₂與y軸的交點．
（1）直接寫出拋物線l₂的解析式及其對稱軸；
（2）在拋物線l₂的對稱軸上求一點P，使得△PAC的周長最�。�請在圖中畫出點P的位置，并求點P的坐標(biāo)；
（3）若點D是拋物線l₂上的一動點，且點D在第一象限內(nèi)，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，DE與直線BC交于點F．設(shè)D點的橫坐標(biāo)為t．試探究：
①四邊形DCEB能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不能，請簡要說明理由；
②四邊形CEBCD能否為梯形？若能，請求出符合條件的D點坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）l₂：y=-（x-1）²+4，對稱軸為直線x=1；

（2）如圖1，連接BC，交對稱軸于點P，連接AP、AC．
∵AC長為定值，
∴要使△PAC的周長最小，只需PA+PC最�。�
∵點A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點是點B（3，0），拋物線y=-x²+2x+3與y軸交點C的坐標(biāo)為（0，3）．
∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最�。�
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，將B（3，0）代入3k+3=0，得k=-1．
∴y=-x+3
∴當(dāng)x=1時，y=2．
∴點P的坐標(biāo)為（1，2）．

（3）①四邊形DCEB不能為平行四邊形．
若四邊形DCEB為平行四邊形，則EF=DF，CF=BF．
∵DE⊥x軸，
∴DE∥y軸．
∴，
即OE=BE=1.5
當(dāng)x_F=1.5時，y_F=-1.5+3=1.5，
即EF=1.5．
當(dāng)x_D=1.5時，y_D=-（1.5-1）²+4=3.75，即DE=3.75．
∴DF=DE-EF=3.75-1.5=2.25＞1.5．
即DF＞EF，這與EF=DF相矛盾．
∴四邊形DCEB不能為平行四邊形．
②四邊形DCEB能為梯形．
情況1：若CD∥BE，則y_C=y_D=3．
當(dāng)y_D=3時，解得x_D=2，易得OE=2，BE=1．
∴CD≠BE．
∴當(dāng)CD∥BE時，四邊形DCEB為梯形．
∴當(dāng)D的坐標(biāo)為（2，3）時，四邊形DCEB為梯形．
情況2：若CE∥BD，由①易得CD與BE不平行．即當(dāng)CE∥BD時，四邊形DCEB為梯形．
依題意得：OE=t，BE=3-t，DE=-t²+2t+3．
∵DE∥y軸，D點的橫坐標(biāo)為t，
∴F點的橫坐標(biāo)為t．
∵CE∥BD，
∴∠CEO=∠DBE．
∴tan∠CEO=tan∠DBE，
∴，即，
整理得：t²+t=3．
解得：，（不合題意，舍去）．
當(dāng)時，
解得y_D=．
∴當(dāng)D的坐標(biāo)為（，）時，四邊形DCEB為梯形．
綜上，當(dāng)D的坐標(biāo)為（2，3）或（，）時，四邊形DCEB為梯形．
注：此題有多種解法，其他解法（或?qū)懛ǎ┛蓞⒄找陨系脑u分標(biāo)準(zhǔn)給分．
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律即可得到l₂的解析式和對稱軸；
（2）連接BC，交對稱軸于點P，連接AP、AC．點A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點是點B（3，0），由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最小，依此求點P的坐標(biāo)；
（3）①反證法推出矛盾的結(jié)論，得出四邊形DCEB不能為平行四邊形；
②分情況1：若CD∥BE；情況2：若CE∥BD兩種情況討論求得四邊形CEBCD為梯形時符合條件的D點坐標(biāo)．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形及梯形的判定、圖形周長的求法等等知識的綜合應(yīng)用能力．