Question

3．如圖，在正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)E作⊙O，分別交AB、AD于點(diǎn)F、G．已知正方形邊長(zhǎng)為5，⊙O的半徑為2，則AG•GD的值為9．

Answer 1

分析 連接EF、FG，GE如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAD=90°，∠BEA=90°證得△BPF≌△APE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF=AE，求得DE=AF，根據(jù)圓周角定理得到GF為⊙O的直徑，得到GF=4，根據(jù)勾股定理得到AF²+AG²=GF²=16，由①②聯(lián)立起來(lái)組成方程組，即可得到結(jié)論．

解答 解：連接EF、FG，GE如圖，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，∠BEA=90°
∴∠FEG=90°，
∴∠BEF=∠AEG，
又∵∠FBE=∠EAG=45°，
在△BEF與△AGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠AGE}\\{∠EBF=∠EAG}\\{BE=AE}\end{array}\right.$，
∴△BPF≌△APE，
∴BF=AE，
而AB=AD，
∴DE=AF，
∵∠BAD=90°，
∴GF為⊙O的直徑，
而⊙O的半徑為2，
∴GF=4，
∴AF²+AG²=GF²=16①，
而DG=AF，
DG²+AG²=16；
又∵AD=AG+GD=AB，
∴AG+GD=5②，
由①②聯(lián)立起來(lái)組成方程組，解得：AG=$\frac{5+\sqrt{7}}{2}$，GD=$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$或AG=$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，GD=$\frac{5+\sqrt{7}}{2}$，
∴AG•GD=4.5．
故答案為：4.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．同時(shí)考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及方程組的解法．