【題目】如圖,BC為⊙O的直徑,CA是⊙O的切線,連接AB交⊙O于點(diǎn)D,連接CD,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.
(1)求證:CE=CF;
(2)若BD=DC,求的值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)如下圖,由已知易得∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°,由此可得∠1+∠3=90°,∠2+∠5=90°結(jié)合∠1=∠2,可得∠3=∠5,結(jié)合∠3=∠4可得∠4=∠5,從而可得CE=CF;
(2)由(1)中所得∠1=∠2,∠3=∠5可得△ADF∽△ACE,由此可得 由BD=DC,∠BDC=90°可得tan∠ABC=,再證∠ACD=∠ABC即可得到tan∠ACD=,這樣在Rt△ACD中,可得sin∠ACD=,由此即可得到.
(1)∵BC為直徑,
∴∠BDC=∠ADC=90°,
∴∠1+∠3=90° ,
∵AC是⊙O的切線,
∴∠ACB=90°,
∴∠2+∠5=90°,
∵AE平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠5,
∵∠3=∠4
∴∠4=∠5,
∴ CF=CE ;
(2)由(1)可知∠1=∠2,∠3=∠5,
∴△ADF∽△ACE,
∴,
∵BD=DC,∠BDC=90°,
∴tan∠ABC=,
∵∠ABC+∠BAC=90°, ∠ACD+∠BAC=90°
∴∠ACD=∠ABC,
∴tan∠ACD=,
∴sin∠ACD=,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),與y軸的交點(diǎn)B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之間(不包括這兩點(diǎn)),對(duì)稱軸為直線x=1.下列結(jié)論:①abc>0 ②4a+2b+c>0 ③4ac﹣b2<8a ④<a<⑤b>c.其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是( 。
A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將一副三角板中的兩塊直角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合在一起,即按如圖所示的方式疊放在一起,其中∠A=60°,∠B=30,∠D=45°.
(1)若∠BCD=45°,求∠ACE的度數(shù).
(2)若∠ACE=150°,求∠BCD的度數(shù).
(3)由(1)、(2)猜想∠ACE與∠BCD存在什么樣的數(shù)量關(guān)系并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料:
材料1、若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1,x2,則x1+x2=,x1x2=.
材料2、已知實(shí)數(shù)m、n滿足m2﹣m﹣1=0,n2﹣n﹣1=0,且m≠n,求的值.
解:由題知m、n是方程x2﹣x﹣1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,根據(jù)材料1得
m+n=1,mn=﹣1
∴
根據(jù)上述材料解決下面問題;
(1)一元二次方程2x2+3x﹣1=0的兩根為x1、x2,則x1+x2= ,x1x2= .
(2)已知實(shí)數(shù)m、n滿足2m2﹣2m﹣1=0,2n2﹣2n﹣1=0,且m≠n,求m2n+mn2的值.
(3)已知實(shí)數(shù)p、q滿足p2=3p+2,2q2=3q+1,且p≠2q,求p2+4q2的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某書店開展優(yōu)惠售書活動(dòng),一次購(gòu)書定價(jià)不超過200元的打九折;一次購(gòu)書定價(jià)超過200元的,其中200元按九折計(jì)算,超過200元的部分打八折.小麗挑選了幾本喜愛的書,計(jì)算定價(jià)后,準(zhǔn)備支付144元,遇見同學(xué)小芳也在買書,計(jì)算小芳購(gòu)書的定價(jià)后,小麗對(duì)小芳說:我們獨(dú)自付款,都只能享受九折,合在一-起付款,按今天的活動(dòng)一共可優(yōu)惠 48元.請(qǐng)根據(jù)以上內(nèi)容解答下列問題:
(1)小麗購(gòu)書的定價(jià)是____元 .
(2)列方程求解小芳購(gòu)書的定價(jià).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,有一拋物線其表達(dá)式為.
(1)當(dāng)該拋物線過原點(diǎn)時(shí),求的值;
(2)坐標(biāo)系內(nèi)有一矩形OABC,其中、.
①直接寫出C點(diǎn)坐標(biāo);
②如果拋物線與該矩形有2個(gè)交點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,,,點(diǎn)在邊上(與、不重合),四邊形為正方形,過點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接,交于點(diǎn),對(duì)于下列結(jié)論:①;②四邊形是矩形;③.其中正確的是( )
A.①②③B.①②C.①③D.②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,小靚用七巧板拼成一幅裝飾圖,放入長(zhǎng)方形ABCD內(nèi),裝飾圖中的三角形頂點(diǎn)E,F分別在邊AB,BC上,三角形①的邊GD在邊AD上,若圖1正方形中MN=1,則CD=____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若整數(shù)使關(guān)于的方程有負(fù)整數(shù)解,且也是四條直線在平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù),則滿足條件的所有的個(gè)數(shù)為( )
A.3B.4C.5D.6
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