Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），OC邊在x軸上．反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，過點(diǎn)A的直線y=-x+與x軸交于點(diǎn)E．
（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)與k的值．
（2）連接BE，所得梯形OABE是等腰梯形嗎？請說明理由．
（3）請判斷：?OABC的對稱中心______（填“在”或“不在”）該反比例函數(shù)的圖象上．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)等于點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，從而代入一次函數(shù)解析式可得出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，繼而可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，可得出k的值；
（2）過點(diǎn)A作AM⊥OE于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥OE于點(diǎn)N，然后求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而可判斷出OM=NE，也可得出OA=BE，這樣即可判斷出梯形OABE是等腰梯形；
（3）根據(jù)O、B的坐標(biāo)，可得出?OABC的對稱中心的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)即可作出判斷．
解答：解：（1）∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)=點(diǎn)B的縱坐標(biāo)=2，
又∵一次函數(shù)解析式為：y=-x+，
∴2=-x+，
解得：x=1，即可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2）．
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=，得2=，
解得：k=2；

（2）過點(diǎn)A作AM⊥OE于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥OE于點(diǎn)N，
由題意得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，0），
故可得NE=1，OM=1，
∵OA=，BE=，NE=OM，AM=BN，
∴AO=BE，
∴梯形ABEO是等腰梯形；

（3）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)O的坐標(biāo)為（0，0），
∴平行四邊形的對稱中心的坐標(biāo)為（2，1），
將（2，1）代入反比例函數(shù)解析式可得：1=，左邊等于右邊．
故可得：平行四邊形OABC的對稱中心在該反比例函數(shù)的圖象上．
點(diǎn)評：此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、等腰梯形的判定、勾股定理，難點(diǎn)在第二問，關(guān)鍵是坐標(biāo)與線段長度之間的轉(zhuǎn)換，難度較大．