Question

如圖，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=3．
（1）在AB邊上取一點D，將紙片沿OD翻折，使點A落在BC邊上的點E處，求點D，E的坐標(biāo)；
（2）若過點D，E的拋物線與y軸相交于點H（0，5），求拋物線的解析式；
（3）若（2）中的拋物線與y軸交于點H，與x軸相交于點F（-5，0），在拋物線上是否存在點P，使△PFH的內(nèi)心在坐標(biāo)軸上？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
（4）若點Q在線段OD上移動，作直線HQ，當(dāng)點Q移動到什么位置時，O，D兩點到直線HQ的距離之和最大？請直接寫出此時點Q的坐標(biāo)及直線HQ的解析式．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）本題可根據(jù)折疊的性質(zhì)來求解．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出OE=OA，可在RT△OCE中，用勾股定理求出CE的長，也就求出了E點的坐標(biāo)．在RT△DBE中，還是根據(jù)折疊的性質(zhì)，DA=DE，DB=3-DE，而BE可根據(jù)OA和CE的長求出，因此根據(jù)勾股定理即可求出DE即AD的長，也就得出了D點的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)D、E、H的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（3）當(dāng)內(nèi)心在y軸上時，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知：y軸正好是∠PHF的角平分線，那么∠PHO=∠FHO=45°，設(shè)PH與x軸的交點為M，易知△OMH為等腰直角三角形，由此可求出M的坐標(biāo)，進而可求出直線PH的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點的坐標(biāo)．當(dāng)內(nèi)心在x軸上時，解法同上．
（4）根據(jù)“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”可知，當(dāng)直線HQ⊥OD時，O，D兩點到直線HQ的距離之和最大，此時點Q為垂足．此時點Q為垂足．HQ所在的直線與OD所在的直線垂直，再求出HQ所在的直線解析式．再求出點Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由折疊性可得，OE=OA=5，
在Rt△OCE中，CE²=OE²-OC²=5²-3²=4²，
∴CE=4．
∴點E的坐標(biāo)為（4，3），
∵BE=BC-CE=5-4=1，ED=AD，
在Rt△BED中，ED²=EB²+BD²，
∴AD²=1+（3-AD）²
解得AD=

5

3

，
∴D點的坐標(biāo)為（5，

5

3

），
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過點D（5，

5

3

），E（4，3），F(xiàn)（0，5），
∴

25a+5b+c= 5 3 16a+4b+c=3 c=5

解得

a=- 1 6 b= 1 6 c=5

∴拋物線的解析式為y=-

1

6

x²+

1

6

x+5，
（3）存在這樣的P點，使△PFH的內(nèi)心在坐標(biāo)軸上．
①如圖1，若△PFH的內(nèi)心在y軸上，設(shè)直線PH與x軸相交于點M，

∵∠FHO=∠MHO，HO⊥FM，
∴FO=MO，
∴點M的坐標(biāo)為（5，0）．
∴直線PH的解析式為y=-x+5．
解方程組

y=-x+5 y=- 1 6 x2+ 1 6 x+5

解得

x1=0 y1=5

，

x2=7 y2=-2

∴點P的坐標(biāo)為（7，-2）．
②如圖2，若△PFH的內(nèi)心在x軸上，設(shè)直線PF與y軸相交于點N，

∵∠HFO=∠NFO，F(xiàn)O⊥HN，
∴HO=NO，
∴點N的坐標(biāo)為（0，-5），
∴直線FN的解析式為y=-x-5．
解方程組

y=-x-5 y=- 1 6 x2+ 1 6 x+5

解得

x1=-5 y1=0

，

x2=12 y2=-17

，
∴點P的坐標(biāo)為（12，-17）．
綜合①②可知點P的坐標(biāo)為（7，-2）或（12，-17）．
（4）如圖3，當(dāng)HQ⊥OD時，O，D兩點到直線HQ的距離之和最大

∵D點的坐標(biāo)為（5，

5

3

），
∴直線OD所在的直線y=

1

3

x
∵HQ所在的直線與OD所在的直線垂直，
∴HQ所在的直線解析式為y=-3x+5．

y= 1 3 x y=-3x+5

，
解得

x= 3 2 y= 1 2

．
∴點Q的坐標(biāo)為（

3

2

，

1

2

）

點評：本題為二次函數(shù)綜合題，綜合考查了矩形的性質(zhì)、圖形的折疊變換、三角形的內(nèi)心等重要知識．難度較大．