Question

（2012•閘北區(qū)一模）已知：如圖，直線y=x-15與x軸、y軸分別相交于點A和點B．拋物線y=-

1

3

x2+bx+c經過A、B兩點．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）若這拋物線的頂點為點D，與x軸的另一個交點為點C．對稱軸與x軸交于點H，求△DAC的面積；
（3）若點E是線段AD的中點．CE與DH交于點G，點P在y軸的正半軸上，△POH是否能夠與△CGH相似？如果能，請求出點P的坐標；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別把x=0和y-0代入一次函數的解析式，求出A、B的坐標，代入拋物線得出方程組，求出方程組的解，即可得出拋物線的解析式；
（2）求出頂點D的坐標和C的坐標，根據三角形的面積公式求出即可；
（3）求出GH、HO、CH的值，根據相似三角形的性質得出兩個比例式，代入即可求出P的坐標．

解答：解：（1）∵y=x-15，
y=0時，0=x-15，
∴x=15，
當x=0時，y=-15，
∴A（15，0），B（0，-15），
代入得

- 1 3 ×152+15b+c=0 c=-15

，
解得

b=6 c=-15

，
∴拋物線的解析式：y=-

1

3

x²+6x-15．

（2）拋物線的解析式可變形為y=-

1

3

(x-9)2+12，
∴頂點D坐標為（9，12），
設y=0，則-

1

3

(x-9)2+12=0，
∴（x-9）²=36．
∴x₁=3，x₂=15，
∴點C的坐標為（3，0），
∴S△DAC=

1

2

DH•AC=

1

2

×12×12=72．

（3）∵點E是線段AD的中點，點H是線段AC的中點，．
∴點G是△DAC的重心．如圖：

∵頂點D坐標為（9，12），
∴GH=

1

3

DH=4，
∴HO=9，CH=6．
設△POH∽△GHC時，

PO

GH

=

HO

CH

，
∴

PO

4

=

9

6

∴PO=6，
∴P₁（0，6）；
△POH∽△CHG時，

PO

CH

=

HO

GH

，

PO

6

=

9

4

，
∴PO=

27

2

．
∴P2(0，

27

2

)．
∴△POH能夠與△CHG相似，相似時點P的坐標為P₁（0，6）或P2(0，

27

2

)．

點評：本題考查了三角形的面積，用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標，相似三角形的性質和判定等知識點的運用，主要培養(yǎng)了學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目比較典型，但有一定的難度，注意：分類討論思想的運用．