Question

6．邊BC在x軸上，點A在y軸的正方向上，A（0，6），D （4，6），且AB=2$\sqrt{10}$
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（3）在（2）中所求的拋物線上是否存在一點P，使得S_△PBD=S_梯形ABCD？若存在，請求出該點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勾股定理即可求得；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（3）連接AC，并延長使EF=AC，過F點作PF∥BD，交拋物線于P，證得△AOC是等腰直角三角形，進一步證得△BEC和△AED是等腰直角三角形，通過三角形相似求得F的坐標(biāo)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和待定系數(shù)法求得直線PF的解析式，解直線PF和拋物線解析式組成的方程組即可求得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵A（0，6），
∴OA=6，
在Rt△OAB中，OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{10}）^{2}-{6}^{2}}$=2，
∴點B的坐標(biāo)為（-2，0）；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
把A（0，6），B（-2，0），D （4，6）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{c=6}\\{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=6}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6；
（3）存在．
連接AC，并延長使EF=AC，過F點作PF∥BD，交拋物線于P，
∵OA=OC=6，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，AC=6$\sqrt{2}$，
同理：∠DBC=45°，
∴AC⊥BD，
∴△BEC和△AED是等腰直角三角形，
∵AD=4，BC=8，
∴AE=2$\sqrt{2}$，
∵AC=EF，
∴CF=2$\sqrt{2}$，
作FG∥OA，
∴△AOC∽△FGC，
∴$\frac{FG}{OA}$=$\frac{CG}{OC}$=$\frac{CF}{AC}$，
∴FG=2，CG=2，
∴F（8，-2），
由B（-2，0），D（4，6），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+n=0}\\{4k+n=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=2}\end{array}\right.$，
設(shè)直線PF的解析式為y=x+m，
把F（8，-2）代入得，-2=8+m．解得m=-10，
∴直線PF的解析式為y=x-10，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=x-10}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{97}}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{97}-29}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1-\sqrt{97}}{3}}\\{y=\frac{-29-\sqrt{97}}{3}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{1+\sqrt{97}}{3}$，$\frac{-29+\sqrt{97}}{3}$）或（$\frac{1-\sqrt{97}}{3}$，$\frac{-29-\sqrt{97}}{3}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．