Question

（2013•宜春模擬）如圖所示，已知點(diǎn)P、Q分別是矩形ABCD的邊AB、DC的中點(diǎn)，M、N分別是AQ、CP的中點(diǎn)．
（1）在不添加輔助線(xiàn)時(shí)，寫(xiě)出其中的兩對(duì)全等三角形；
（2）四邊形PNQM是什么樣的特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形，結(jié)合全等三角形的判定得出即可；
（2）證△ADQ≌△CBP，推出AQ=CP，求出QM∥PN，QM=PN得出平行四邊形PMQN，根據(jù)直角三角形斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)求出PM=MQ，即可得出答案．

解答：解：（1）△ADQ≌△CBP、△AMP≌△CNQ；

（2）四邊形PNQM是菱形，
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AB=DC，AD=BC，
∵P、Q分別是AB、DC的中點(diǎn)，
∴DQ=BP，
在△ADQ和△CBP中

AD=BC ∠D=∠B DQ=BP

∴△ADQ≌△CBP．
∴AQ=CP，∠DAQ=∠BCP，
∵M(jìn)、N分別是AQ、CP的中點(diǎn)，
∴QM=PN，
∵∠DAQ+∠BAQ=90°，∠BPC+∠BCP=90°，
∴∠BAQ=∠BPC．
∴AQ∥PC．
∴四邊形PNQM是平行四邊形，
連接PQ，由題意可得四邊形APQD是矩形，PM為直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，
故PM=MQ，
∴四邊形PNQM是菱形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．