Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知P（1，1），A為y軸的負(fù)半軸上一點(diǎn)，B為x軸的正半軸上一點(diǎn)，PA=PB．
（1）求證：∠OAP=∠OBP；
（2）若A（0，-2），求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)A點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OA-OB的值是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）過(guò)P分別作兩x軸、y軸的垂線，垂足分別為C，D，則可證明Rt△PDA≌Rt△PCB，則可得∠OAP=∠OBP；
（2）由（1）可知BC=DA，且可求得AD=1+2=3，所以BC=3，所以O(shè)B=OC+BC=1+3=4，所以可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）因?yàn)镽t△PDA≌Rt△PCB，所以BC=DA，所以O(shè)A-OB=AD-OD-（OC+BC）=AD-OD-OC-BC=-OD-OC=-2，所以不變．

解答：（1）證明：過(guò)P分別作兩x軸、y軸的垂線，垂足分別為C，D，則C（1，0），D（0，1）

∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
∴PC=PD，
在Rt△PDA和Rt△PCB中

PD=PC PA=PB

∴Rt△PDA≌Rt△PCB（HL），
∴∠OAP=∠OBP；
（2）解：∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），所以AO=2，且OC=OD=1，
∴AD=AO+OD=2+1=3，
由（1）知Rt△PDA≌Rt△PCB，
∴BC=AD=3，
∴OB=OC+BC=1+3=4，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）；
（3）解：不發(fā)生變化，理由如下：
∵Rt△PDA≌Rt△PCB，
∴BC=DA，
∴OA-OB=AD-OD-（OC+BC）=AD-OD-OC-BC=-OD-OC=-2，
∴OA-OB的值不發(fā)生變化．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直角三角形全等的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)的坐標(biāo)求得線段的長(zhǎng)．