Question

四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A=90゜，∠DCB=75゜，以CD為邊的等邊△CDE的頂點(diǎn)E在AB上．
（1）求證：AB=BC；
（2）點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，若∠FBC=30゜．求的值．

Answer 1

證：（1）過(guò)D點(diǎn)作DG⊥BC于G．
∴∠DGC=∠DGB=90°．
∵△CDE為等邊三角形，
∴DC=DE，∠DCE=60°．
∵∠DCB=75゜，
∴∠BCE=15°．
∵AD∥BC，∠A=90゜，
∴∠ABC=∠DGC=90°，
∴∠BEC+∠BCE=90°，四邊形ABGD是矩形，
∴∠BEC=75°，AB=DG．
∴∠DCB=∠BEC．
在△DGC和△CBE中
，
∴△DGC≌△CBE，
∴DG=BC，
∴AB=BC；
（2）延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線于M，
∵∠FBC=30゜，∠DCB=75゜，
∴∠BFC=75°，
∴∠DCB=∠DFC，
∴BF=BC．
∵AD∥BC，
∴∠M=∠FBC=30°．∠MDF=∠BCF．
∵∠A=90゜，
∴BM=2AB．
∴BF=FM=BM．
在△CFB≌△DFB中，
，
∴△CFB≌△DFM，
∴DF=CF，
∴=1．
分析：（1）過(guò)D點(diǎn)作DG⊥BC于G．由條件證明△DGC≌△CBE就可以得出DG=BC，再由矩形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線于M，可以得出BF=BC=AB=BM，就可以得出△CBF≌△DFB，得出DF=CF而得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)正確添加輔助線是關(guān)鍵．