Question

如圖，在△ABC中，已知BC=8，AC=4

3

，∠C=60°，在BC邊上有一動點P，過P作PD∥AB，交AC于點D，則點P在BC邊上某處時△APD的面積最大，最大值為

 

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)在△ABC中，已知BC=8，AC=4

3

，∠C=60°，設AD=x，列出△APD的面積關于x的二次函數(shù)，利用配方法求得最大值，即為所求△APD的面積最大值．

解答：解：過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DF⊥BC于點F．
設AD=x，
∵BC=8，∠C=60°
∴CE=AC•cos∠C=4

3

×

1

2

=2

3

，
∴CD=4

3

-x，
∴AE=AC•sin60°=2

3

，DF=CD•sin60°=

3

2

（4-x），
∵AB∥PD，
∴PC：BC=CD：AC，
∴PC=8-2x，
∴S_△PAD=S_△PAC-S_△PCD=

1

2

×（8-2x）×2

3

-

1

2

×（8-2x）×

3

2

（4-x），
=-

3

2

（x²-4x），
=-

3

2

（x-2）²+2

3

．
∴最大值為：2

3

．
故答案為：2

3

．

點評：本題考查三角形面積的計算、三角函數(shù)、直角三角形的性質(zhì)．解決本題的關鍵點是證得△ABC為Rt△，從而利用三角函數(shù)建立起邊間的關系；并在解題過程中轉(zhuǎn)化成求二次函數(shù)的最值問題．