Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在CB的延長線上，連接AD．
（1）求證：AD²-AB²=BD•CD；
（2）若點D在CB上，上述結論將會有什么變化，試證明你的新結論．

Answer 1

考點：勾股定理,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BE=CE，利用勾股定理列式表示出DE²、CE²，然后相減即可得解；
（2）根據(jù)（1）的求解思路列式整理即可．

解答：（1）證明：如圖，過點A作AE⊥BC于E，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
在Rt△ADE中，AD²-AE²=DE²，
在Rt△ACE中，AC²-AE²=CE²，
兩式相減得，AD²-AC²=DE²-CE²=（DE-CE）（DE+CE）=（DE-BE）CD=BD•CD，
即AD²-AB²=BD•CD；

（2）結論為：AC²-AD²=BD•CD．
證明如下：與（1）同理可得，AD²-AE²=DE²，AC²-AE²=CE²，
∵點D在CB上，
∴AB＞AD，
∴AC²-AD²=CE²-DE²=（CE-DE）（CE+DE）=（BE-DE）（CE+DE）=BD•CD，
即AC²-AD²=BD•CD．

點評：本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．