Question

【題目】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明和小紅要測(cè)量小河對(duì)岸大樹BC的高度，小紅在點(diǎn)A測(cè)得大樹頂端B的仰角為45°，小明從A點(diǎn)出發(fā)沿斜坡走3米到達(dá)斜坡上點(diǎn)D，在此處測(cè)得樹頂端點(diǎn)B的仰角為31°，且斜坡AF的坡比為1：2．

（1）求小明從點(diǎn)A到點(diǎn)D的過程中，他上升的高度；

（2）依據(jù)他們測(cè)量的數(shù)據(jù)能否求出大樹BC的高度？若能，請(qǐng)計(jì)算；若不能，請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

Answer 1

【答案】（1）上升的高度為3米；（2）大樹的高度約為16.5米

【解析】

（1）作DH⊥AE于H，解Rt△ADH，即可求出DH；

（2）延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)G，解Rt△GDH、Rt△ADH，求出GH、AH，得到AG；設(shè)BC＝x米，根據(jù)正切的概念用x表示出GC、AC，根據(jù)GCAC＝AG列出方程，解方程得到答案．

解：（1）作DH⊥AE于H，如圖1所示：

在Rt△ADH中，∵＝，

∴AH＝2DH，

∵AH2+DH2＝AD2，

∴（2DH）2+DH2＝（3）2，

∴DH＝3．

答：小明從點(diǎn)A到點(diǎn)D的過程中，他上升的高度為3米；

（2）如圖2所示：延長(zhǎng)BD交AE于點(diǎn)G，設(shè)BC＝xm，

由題意得，∠G＝31°，

∴GH＝≈＝5，

∵AH＝2DH＝6，

∴GA＝GH+AH＝5+6＝11，

在Rt△BGC中，tan∠G＝，

∴CG＝≈＝x，

在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，

∴AC＝BC＝x．

∵GC﹣AC＝AG，

∴x﹣x＝11，

解得：x＝16.5．

答：大樹的高度約為16.5米．