Question

【題目】如圖，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做直線平行于軸，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)在直線上，且位于軸的上方，將沿直線翻折得到，若點(diǎn)恰好落在直線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的解析式；

（3）設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（3，0）；（2）A（1，）；直線BD為；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）.

【解析】

（1）根據(jù)題意，點(diǎn)B、C關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）由折疊的性質(zhì)，得AB=CB，BD=AD，根據(jù)勾股定理先求出AM的長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)D為（1，a），利用勾股定理構(gòu)造方程，即可求出點(diǎn)D坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線BD.

（3）分兩種情形：如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，連接BQ，PA．證明點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，構(gòu)建方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，同法可得△CAQ≌△CBP，可得∠CAQ=∠CBP=30°，構(gòu)建方程組解決問(wèn)題即可．

解：（1）根據(jù)題意，

∵點(diǎn)B、C關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，且點(diǎn)B、M、C都在x軸上，

又點(diǎn)B（），點(diǎn)M（1，0），

∴點(diǎn)C為（3，0）；

（2）如圖：

由折疊的性質(zhì)，得：AB=CB=4，AD=CD=BD，

∵BM=2，∠AMB=90°，

∴，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（1，）；

設(shè)點(diǎn)D為（1，a），則DM=a，BD=AD=，

在Rt△BDM中，由勾股定理，得

，

解得：，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（1，）；

設(shè)直線BD為，則

，解得：，

∴直線BD為：；

（3）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，連接BQ，PA．

∵△ABC，△CPQ都是等邊三角形，

∴∠ACB=∠PCQ=60°，

∴∠ACP=∠BCQ，

∵CA=CB，CP=CQ，

∴△ACP≌△BCQ（SAS），

∴AP=BQ，

∵AD垂直平分線段BC，

∴QC=QB，

∴PA=PC，

∴點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，

由，解得，

∴P（，）．

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，同法可得△CAQ≌△CBP，

∴∠CAQ=∠CBP=30°，

∵B（-1，0），

∴直線PB的解析式為，

由，解得：，

∴P（，）.