Question

已知關(guān)于x的方程x²-（m+5）x+3（m+2）=0．
（1）求證：無(wú)論m取何實(shí)數(shù)值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）如果Rt△ABC的斜邊長(zhǎng)為5，兩條直角邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根．求△ABC的面積．

Answer 1

（1）證明：∵△=（m+5）²-12（m+2）
=m²+10m+25-12m-24=m²-2m+1=（m-1）²≥0，
∴此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

（2）解：設(shè)Rt△ABC的兩條直角邊分別為a、b．
根據(jù)題意，得
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（m+5）²-6（m+2）=m²+4m+13=25．
∴m²+4m-12=0．
解得m₁=2，m₂=-6（不符合題意，舍去）．
∴ab=12．
∴S_△ABC=．
分析：（1）要證明方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根只要證明方程的判別式是非負(fù)數(shù)即可求解；
（2）設(shè)Rt△ABC的兩條直角邊分別為a、b，首先利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到關(guān)于a、b的方程組，然后利用勾股定理也可以的關(guān)于a、b的方程，聯(lián)立解之即可求解．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，首先利用判別式解決第一問(wèn)，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系和勾股定理得到關(guān)于a、b的方程組，然后解方程組即可解決問(wèn)題．