Question

我校八（1）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動(dòng)課，利用角尺平分一個(gè)角（如圖）.設(shè)計(jì)了如下方案：                        

（Ⅰ）∠AOB是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線(xiàn)OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線(xiàn)OP就是∠AOB的平分線(xiàn).

（Ⅱ）∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線(xiàn)OA、OB之間，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線(xiàn)OP就是∠AOB的平分線(xiàn).

（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，請(qǐng)證明；若不可行，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續(xù)移動(dòng)角尺，同時(shí)使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）方案（Ⅰ）不可行. 方案（Ⅱ）可行.

      方案（Ⅰ）缺少證明三角形全等的條件. 方案（Ⅱ）證明：在△OPM和△OPN中

    

∴△OPM≌△OPN(SSS)

∴∠AOP=∠BOP(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)

（2）當(dāng)∠AOB是直角時(shí)，此方案可行.

∵四邊形內(nèi)角和為360°，又若PM⊥OA,PN⊥OB, ∠OMP=∠ONP=90°, ∠MPN=90°,

∴∠AOB=90°

∵若PM⊥OA,PN⊥OB,

且PM=PN

∴OP為∠AOB的平分線(xiàn).(到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線(xiàn)上) …

當(dāng)∠AOB不為直角時(shí)，此方案不可行.