Question

已知，如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=3，CD=2，AD=5，P從D出發(fā)沿射線DA運(yùn)動(dòng)，且P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，△PBC的面積為S．
（1）寫(xiě)出當(dāng)0≤t≤5時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）是否存在時(shí)刻t使△PBC的周長(zhǎng)最小？若存在，在圖中畫(huà)出P的位置（只需標(biāo)明數(shù)量關(guān)系，不要求證明），并求出t取何值時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最�。蝗舨淮嬖�，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBC為直角三角形，請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程（利用圖2解題）．

Answer 1

分析：（1）分別求出△ABP、△CDP、梯形ABCD的面積，再根據(jù)圖形得出S=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△CDP代入求出即可；
（2）要使△PBC的周長(zhǎng)最小，因?yàn)锽C的值確定，只要PC+PB最小即可，作B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接CE交AD于P，則此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)最小，根據(jù)三角形相似得出比例式，代入即可求出t的值；
（3）求出∠BAD=∠CDA=90°，∠ABP=∠DPC，證△ABP∽△DPC，得出比例式，代入即可求出t．

解答：
（1）解：S=S_梯形ABCD-S_△ABP-S_△CDP，
=

1

2

（AB+CD）×AD-

1

2

AB×AP-

1

2

CD×DP，
=

1

2

×（3+2）×5-

1

2

×3×（5-t）-

1

2

×2×t，
=

1

2

t+5，
即當(dāng)0≤t≤5時(shí)，S與t的函數(shù)關(guān)系式是s=

1

2

t+5．

（2）解：存在時(shí)刻t使△PBC的周長(zhǎng)最小，如圖2所示：
作B關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接CE交AD于P，此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)最小，即存在時(shí)刻t使△PBC的周長(zhǎng)最小，
∵AB∥CD，
∴△CDP∽△EAP，
∴

CD

AE

=

DP

AP

，
∴

2

3

=

t

5-t

，
解得：t=2，
即當(dāng)t=2時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小．

（3）解：要△PBC為直角三角形，只有∠BPC=90°一種情況，
∵∠BPC=∠BAD=∠CDA=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，∠APB+∠DPC=180°-90°=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∵∠BAD=∠CDA，
∴△ABP∽△DPC，
∴

AP

AB

=

CD

DP

，
∴

5-t

3

=

2

t

，
解得：t₁=2，t₂=3，
答：當(dāng)t是2或3時(shí)，△PBC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，梯形性質(zhì)，三角形的面積，最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．