Question

（2012•江西）已知，紙片⊙O的半徑為2，如圖1，沿弦AB折疊操作．
（1）如圖2，當(dāng)折疊后的

AB

經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，求

AB

的長(zhǎng)；
（2）如圖3，當(dāng)弦AB=2時(shí)，求折疊后

AB

所在圓的圓心O′到弦AB的距離；
（3）在圖1中，再將紙片⊙O沿弦CD折疊操作．
①如圖4，當(dāng)AB∥CD，折疊后的

CD

與

AB

所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)O到弦AB、CD的距離之和為d，求d的值；
②如圖5，當(dāng)AB與CD不平行，折疊后的

CD

與

AB

所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，設(shè)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)．試探究四邊形OMPN的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接OA、OB、AE、BE，可得△OAE、△OBE為等邊三角形，從而得到

AB

的圓心角，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；
（2）如圖3，連接O′A、O′B，過(guò)點(diǎn)O′作O′E⊥AB于點(diǎn)E，可得△AO′B為等邊三角形，根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)可求折疊后

AB

所在圓的圓心O^′到弦AB的距離；
（3）①如圖4，

CPD

與

APB

所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AB交

AEB

于點(diǎn)E，交

CFD

于點(diǎn)F，根據(jù)垂徑定理及折疊，可求點(diǎn)O到AB、CD的距離之和；
②根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證．

解答：解：（1）如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，連接OA、OB、AE、BE
∵點(diǎn)E與點(diǎn)O關(guān)于AB對(duì)稱
∴△OAE、△OBE為等邊三角形；…1分
∴∠OEA=∠OEB=60°
∴l

AB

=

120π×2

180

=

4π

3

；…2分

（2）如圖3，連接O′A、O′B，
∵

AB

折疊前后所在的⊙O與⊙O^′是等圓，
∴O′A=O′B=OA=AB=2
∴△AO′B為等邊三角形；…3分
過(guò)點(diǎn)O′作O′E⊥AB于點(diǎn)E
∴O′E=O′B•sin60°=

3

；…4分

（3）①如圖4，

CPD

與

APB

所在圓外切于點(diǎn)P時(shí)，
過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AB交

AEB

于點(diǎn)E，交

CFD

于點(diǎn)F，
∵AB∥CD，
∴EF垂直平分CD、且必過(guò)點(diǎn)P，…5分
根據(jù)垂徑定理及折疊，可知PH=

1

2

PE，PG=

1

2

PF，…6分
又∵EF=4，
∴點(diǎn)O到AB、CD的距離之和為：
d=PH+PG=

1

2

PE+

1

2

PF=

1

2

(PE+PF)=2；…7分
②如圖5，當(dāng)AB與CD不平行時(shí)，
四邊形OMPN是平行四邊形…8分
證明如下：
設(shè)O′、O″為

APB

和

CPD

所在圓的圓心，
由折疊可知：O′與O關(guān)于AB對(duì)稱，O″與O關(guān)于CD對(duì)稱，
∴M為OO′的中點(diǎn)，N為OO″的中點(diǎn)；…9分
∵

CPD

 與

APB

所在圓外切，
∴連心線O′O″必過(guò)點(diǎn)P，
∵

CPD

 與

APB

所在圓與⊙O都是等圓，
∴O′P=O″P=2；
∴PM=

1

2

OO″=ON，PM∥OO″，也即PM∥ON；
∴四邊形OMPN是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：綜合考查了相切兩圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，垂徑定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，翻折變換（折疊問(wèn)題），解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，難度較大．