Question

如圖，P處是一個小島，從P處發(fā)現(xiàn)北偏東25°方向、距離為15

2

海里的A處有一艘走私船，這時一艘緝私艇位于小島P的北偏西20°方向的B處，而走私船位于緝私艇的南偏東50°方向，此時走私船正以每小時60海里的速度從A處向北偏東70°方向逃竄，緝私艇奉命立即以每小時60

3

海里的速度向走私船追去．
（1）求小島P與緝私艇在B處時的距離；（提示：

3

≈1.73）
（2）緝私艇沿什么方向行駛，才能在最短的時間內(nèi)追上走私船，并求出所需時間．

Answer 1

考點：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

專題：

分析：（1）△ABP中，可以求得∠P=45°，∠ABP=30°，作AC⊥BP于點C，在直角△ACP中，求得PC和AC，然后在直角△ABP中利用三角函數(shù)求得BC的長，則BP即可求得；
（2）首先求得∠BAD的度數(shù)，然后作DH⊥AB于點H，設(shè)AD=60t，則BD=60

3

t，在直角△ADH中，利用t表示出DH，在利用三角函數(shù)求得∠ABD的度數(shù)，從而求解．

解答：解：（1）作AC⊥BP于點C．
∵在直角△ACP中，∠P=20°+25°=45°，
∴PC=AC=AP×

2

2

=15

2

×

2

2

=15．
在直角△ABC中，∠ABC=50°-20°=30°，
則BC=

3

AC=15

3

，
故BP=15

3

+15=15×1.73+15=40.95（海里）；
（2）在△ABP中，∠BAP=180°-∠ABP-∠P=180°-30°-45°=105°，
則∠BAE=180°-∠BAP-25°=180°-105°-25°=50°，
則∠BAD=50°+70°=120°，
作DH⊥AB于點H．在直角△ADH中，∠DAH=180°-120°=60°，設(shè)AD=60t，則BD=60

3

t，
則DH=ADsin∠DAH=60t×

3

2

=30

3

t，AH=AD•cos∠DAH=60t×

1

2

=30t，
在直角△BDH中，sin∠DBH=

DH

BD

=

30 3 t

60 3 t

=

1

2

，
則∠DBA=30°，則∠DBG=30°+30°+20°=80°，
故緝私艇沿南偏東80°的方向行駛．
在直角△BDH中，∠DBH=30°，則BH=AB+AH=

3

DH，
即30+30t=30

3

t•

3

，
解得：t=

1

2

．
即行駛

1

2

小時能在最短的時間內(nèi)追上走私船．

點評：本題主要考查了方向角含義，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵，解題中將解直角三角形的相關(guān)知識有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際生活的思想．