Question

大家已經(jīng)知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示，例如：2x（x+y）=2x²+2xy就可以用圖的面積表示．
（1）請寫出圖（2）所表示的代數(shù)恒等式：______；
（2）請寫出圖（3）所表示的代數(shù)恒等式：______；
（3）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示（x+y）（x+3y）=x²+4xy+3y²．

Answer 1

解：（1）由圖（2）的面積關(guān)系可知，（x+y）（2x+y）=2x²+3xy+y²；
故答案為：2x²+3xy+y²；

（2）由圖（3）的面積關(guān)系可知，（x+2y）（2x+y）=2x²+5xy+2y²；
故答案為：（x+2y）（2x+y）=2x²+5xy+2y²；

（3）以邊長為（x+y），（x+3y）畫長方形，如圖所示，

由圖可知，（x+y）（x+3y）=x²+4xy+3y²．
分析：（1）圖（2）中，大長方形邊長為（x+y），（2x+y），圖形中包括了兩個邊長為x的正方形，三個邊長為x、y的長方形，一個邊長為y的正方形，根據(jù)面積關(guān)系得出代數(shù)恒等式；
（2）圖（3）中，大長方形邊長為（x+2y），（2x+y），圖形中包括了兩個邊長為x的正方形，五個邊長為x、y的長方形，二個邊長為y的正方形，根據(jù)面積關(guān)系得出代數(shù)恒等式；
（3）根據(jù)題意，畫出邊長為（x+y），（x+3y）的長方形，再將圖形劃分，利用面積關(guān)系說明等式．
點評：本題考查了平方差公式的幾何背景，完全平方公式的幾何背景．關(guān)鍵是利用形數(shù)結(jié)合的方法，由大長方形得出圖形的長與寬，計算面積，再看圖形中包括的小長方形個數(shù)及每個小長方形的面積，得出面積結(jié)論．