Question

15．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），拋物線經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)解析式；
（3）點(diǎn)F為線段OB上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在y軸右側(cè)），連接ON、BN，當(dāng)四邊形ABNO的面積最大時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)并求出四邊形ABNO面積的最大值；
（4）在（3）的條件下，當(dāng)四邊形ABNO面積最大時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PAO=∠NEO？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值即可得到E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)求拋物線的解析式；
（3）如圖1，作NG∥y軸交OB于G，如圖，利用一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)N（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m）（0＜m＜3），則G（m，m），再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出S_△AOB，和S_△BON，然后得到S_{四邊形ABNO}和m的二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（4）設(shè)直線NE的解析式為y=px+q，直線EN交x軸于H，直線PA交OB于Q，如圖2，先利用待定系數(shù)法求出直線NE的解析式，則可確定H點(diǎn)坐標(biāo)，再證明Rt△AOQ∽Rt△EOH，利用相似比計(jì)算出OQ，則利用點(diǎn)Q在直線y=x上可確定Q點(diǎn)坐標(biāo)，接著利用待定系數(shù)法求出直線AQ的解析式，然后解由二次函數(shù)與直線AQ的解析式所組成的方程組即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
把A（-1，1），B（3，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=1}\\{3m+n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
所以直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$，
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
所以E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{3}{2}$）；
（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
把A（-1，1），B（3，3），O（0，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=1}\\{9a+3b+c=3}\\{c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x；
（3）如圖1，作NG∥y軸交OB于G，如圖，直線OB的解析式為y=x，
設(shè)N（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m）（0＜m＜3），則G（m，m），GN=m-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m，
S_△AOB=S_△AOE+S_△BOE=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×3=3，S_△BON=S_△ONG+S_△BNG=$\frac{1}{2}$•3•（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m）=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{4}$，
所以S_{四邊形ABNO}=S_△BON+S_△AOB=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{4}$+3=-$\frac{3}{4}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{16}$
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，四邊形ABNO面積的最大值，最大值為$\frac{75}{16}$，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{8}$）；
（4）設(shè)直線NE的解析式為y=px+q，直線EN交x軸于H，直線PA交OB于Q，如圖2，
把E（0，$\frac{3}{2}$），N（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{8}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{q=\frac{3}{2}}\\{\frac{3}{2}p+q=\frac{3}{8}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-\frac{3}{4}}\\{q=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
所以直線NE的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$=0，解得x=2，則H（2，0），
∵A（-1，1），B（3，3），
∴∠AOE=45°，∠BOE=45°，
∴∠AOB=90°，
∵∠PAO=∠NEO，
∴Rt△AOQ∽Rt△EOH，
∴OA：OE=OQ：OH，即$\sqrt{2}$：$\frac{3}{2}$=OQ：2，解得OQ=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴Q（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴直線AQ的解析式為y=$\frac{1}{7}$x+$\frac{8}{7}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{7}x+\frac{8}{7}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{16}{7}}\\{y=\frac{72}{49}}\end{array}\right.$，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{16}{7}$，$\frac{72}{49}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用面積的和差計(jì)算不規(guī)則圖形的面積．