Question

19．已知關(guān)于x、y的方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1-a}\\{x-y=3a+5}\end{array}\right.$，給出下列結(jié)論：
①當(dāng)a=1時(shí)，方程組的解也是方程x+y=2的解；
②當(dāng)x=y時(shí)，a=-$\frac{5}{3}$；
③不論a取什么實(shí)數(shù)，2x+y的值始終不變；
④若z=-$\frac{1}{2}$xy，則z的最小值為-1．
請判斷以上結(jié)論是否正確，并說明理由．

Answer 1

分析 ①將a=1代入方程組，求出方程組的解，即可做出判斷；
②將x=y代入方程組，求出a的值，即可做出判斷；
③將a看做已知數(shù)求出2x+y的值即可；
④將a看做已知數(shù)求出x與y的值代入z=-$\frac{1}{2}$xy，即可做出判斷．

解答 解：關(guān)于x、y的方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1-a}\\{x-y=3a+5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=a+3}\\{y=-2a-2}\end{array}\right.$．
①將a=1代入$\left\{\begin{array}{l}{x=a+3}\\{y=-2a-2}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
將x=4，y=-4代入方程左邊得：x+y=0，右邊=2，左邊≠右邊，本選項(xiàng)錯誤；
②將x=y代入$\left\{\begin{array}{l}{x=a+3}\\{y=-2a-2}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{a=-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
即當(dāng)x=y時(shí)，a=-$\frac{5}{3}$，本選項(xiàng)正確；
③將原方程組中第一個(gè)方程×3，加第二個(gè)方程得：4x+2y=8，
即2x+y=4，不論a取什么實(shí)數(shù)，2x+y的值始終不變，本選項(xiàng)正確；
④z=-$\frac{1}{2}$xy=-$\frac{1}{2}$（a+3）（-2a-2）=a²+4a+3=（a+2）²-1≥-1，
即若z=-$\frac{1}{2}$xy，則z的最小值為-1，此選項(xiàng)正確．
故正確的選項(xiàng)有：②、③、④．

點(diǎn)評 本題考查了二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是牢記二元一次方程組的解題方法．