Question

如圖，把一塊三角板（∠A=30°，∠C=90°，AC=6

3

cm）和半圓形量角器按圖中方式疊放，量角器的直徑在AB上，且一端點(diǎn)剛好與B點(diǎn)重合，重合部分的量角器圓弧與AC相切，則圖中陰影部分的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：連接OD，OF，設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OF⊥AC，又因?yàn)锳C⊥BC，所以O(shè)F∥BC，進(jìn)而證明△AFO∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等可求出圓的半徑，再根據(jù)圖中陰影部分的面積=扇形DOB面積-△ODB的面積計(jì)算即可．

解答：解：連接OD，OF，
∵∠A=30°，∠C=90°，AC=6

3

cm，
∴BC=tan30°•AC=6cm，
∴AB=12cm，
設(shè)圓的半徑為r，則AO=12-r，
∵圓弧與AC相切，
∴OF⊥AC，
∵AC⊥BC，
∴OF∥BC，
∴△AFO∽△ACB，
∴

OF

BC

=

AO

AB

，
即

r

6

=

12-r

12

，
∴r=4cm，
∵∠DBO=60°，
∴OD=OB=DB=4cm，
∴陰影部分的面積=扇形DOB面積-△ODB的面積=

60π×42

360

-

1

2

×4×2

3

=

8π

3

-4，
故答案為：

8π

3

-4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了扇形的面積計(jì)算，切線的性質(zhì)，相似三角形的判斷和性質(zhì)以及等邊三角形額判定和性質(zhì)，解答本題關(guān)鍵是求出扇形的半徑，注意熟練掌握扇形的面積公式，難度中等．