Question

10．已知，直線AP是過正方形ABCD頂點A的任一條直線（不過B、C、D三點），點B關于直線AP的對稱點為E，連結AE、BE、DE，直線DE交直線AP于點F．

（1）如圖1，直線AP與邊BC相交．
①若∠PAB=20°，則∠ADF=65°，∠BEF=45°；
②請用等式表示線段AB、DF、EF之間的數(shù)量關系，并說明理由；
（2）如圖2，直線AP在正方形ABCD的外部，且$DF=6\sqrt{2}$，$EF=8\sqrt{2}$，求線段AF的長．

Answer 1

分析 （1）①利用軸對稱的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出即可；②連接BD，BF先依據(jù)翻折的性質(zhì)證明△BEF為等腰直角三角形，從而得到△BFD為直角三角形，由勾股定理可得到BF、FD、BD之間的關系，然后由△ABD為等腰直角三角形，從而得打BD與AB之間的關系，故此可得到BF、FD、AB之間的關系
（2）連接BF、DB．先依據(jù)翻折的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明∠BFD=90°，然后在△BDF中，由勾股定理可求得BD的長，從而求得AB的長，然后在等腰直角三角形EFB中可求得FG=GB=8，然后再Rt△AGB中，由勾股定理可求得AG的長，由AF=FG-AG可求得AG的長．

解答 解：（1）①翻折的性質(zhì)可知：∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB．
∴∠AEB=∠ABE=$\frac{1}{2}$×（180°-40°）=70°．
∵ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°．
∴AE=AD，∠DAE=50°．
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$×（180°-50°）=65°．
∴∠BEF=180°-70°-65°=45°．
故答案為：65；45．
②線段AB、DF、EF之間的數(shù)量關系是：EF²+DF²=2AB²．
理由：連接BD，BF．

∵由翻折的性質(zhì)可知：BF=FE，
∴∠FBE=∠FEB=45°．
∴∠BFE=90°．
∴BF²+DF²=DB²．
∵BD=$\sqrt{2}$AB，
∴BD²=2AB²．
∴EF²+DF²=2AB²．
（2）如圖2所示：連接BF、DB．

由翻折的性質(zhì)可知：AB=AE，∠1=∠2，EF=BF=8$\sqrt{2}$，EG=GB．
又∵AD=AB，
∴AE=AD．
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∵∠4=∠5，
∴∠5+∠3=∠2+∠4=90°．
∴△FDB和△EFB均為直角三角形，
∴BD=$\sqrt{F{D}^{2}+B{F}^{2}}$=10$\sqrt{2}$．
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=10$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=10．
∵在Rt△EFB中，EF=BF，
∴EB=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$×8$\sqrt{2}$=16．
∴GF=EG=BG=8．
在Rt△ABG中，AG=$\sqrt{A{B}^{2}-P{B}^{2}}$=6．
∴AF=FG-AG=8-6=2．

點評 本題主要考查的是四邊形的綜合應用，解答本題主要應用了翻折的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，證得△BFD是直角三角形是解題的關鍵．