Question

（2011•鎮(zhèn)海區(qū)模擬）△OAB是直角三角形，∠AOB=30°，過A作AP⊥OB于P，在AP延長線上取一點C，使∠BOC=30°；過P作PQ⊥OC于P，在PQ延長線上取一點D，使∠COD=30°；…；按此方法操作，最終得到△OMN，此時ON在OA上．若AB=2a，則ON=

4×（

3

2

）¹¹a

．（可用式子表示）

Answer 1

分析：利用含30度角的直角三角形的性質，正三角形的性質和AB=2a，求得OP的長，然后逆時針旋轉30°后可以求得OQ的長，直至線段ON與線段OA重合，一共旋轉了12次，從而可以求得ON的長．

解答：解：∵∠A=90°，∠AOB=30°，AB=2a，
∴BO=4a，OC=OA=

3

2

×4a，
∵OP為等邊三角形的高，且等邊三角形的邊長為

3

2

×4a，
∴OD=OP=（

3

2

）²×4a，
以此類推，當ON與OA重合時，一共旋轉了12次，
∴ON的長為（

3

2

）¹¹×4a=4×（

3

2

）¹¹a．
故答案為：4×（

3

2

）¹¹a．

點評：本題考查了含30度角的直角三角形的性質和正三角形的性質，解題的關鍵是正確地得到一共旋轉了多少次．