Question

3．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，OD⊥BC于點D．連接DO并延長到F使AF=OC．
（1）求證：△AOC≌△OAF；
（2）探究：當∠1等于多少度時，四邊形OCAF是菱形？請回答并給予證明．

Answer 1

分析 （1）證出△AOF和△AOC是等邊三角形，由SAS即可證出；△AOC≌△OAF；
（2）要四邊形OCAF是菱形，需OC=CA=AF=OF，即△AOC為等腰三角形，∠2=60°，那么∠1=30°．

解答 （1）證明：∵AF=OC=OF=AO，
∴△AOF為等邊三角形，
∴∠3=60°，且∠3=∠DOB=60°，
又∵OD⊥BC，
∴D是BC的中點，∠1=30°；
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠2=60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∵△AOF是等邊三角形，
∴AF=OC=OF=AO，
在△AOC和△OAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=OF}&{\;}\\{∠2=∠3}&{\;}\\{OA=AO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△AOF（SAS）；
（2）解：當∠1=30°時，四邊形OCAF是菱形．理由如下：
∵∠1=30°AB是直徑，
∴∠BCA=90°，
∴∠2=60°，而OC=OA，
∴△OAC是等邊三角形，
∴OA=OC=CA，
又∵D，O分別是BC，BA的中點，
∴DO∥CA，
∴∠2=∠3=60°而OC=OA=AF．
∴△OAF是等邊三角形，
∴AF=OA=OF，（9分）
∴OC=CA=AF=OF，
∴四邊形OCAF是菱形．

點評 本題考查了全等三角形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、圓周角定理、三角形中位線定理；熟練掌握全等三角形的判定和菱形的判定，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．